British Mathematical Olympiad 1992-93 — Round 1

Find six-digit perfect square where last three digits exceed first three by exactly one.

Find, showing your method, a six-digit integer $n$ with the following properties: (i) $n$ is a perfect square, (ii) the number formed by the last three digits of $n$ is exactly one greater than the number formed by the first three digits of $n$. (Thus $n$ might look like $123124$, although this is not a square.)

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Trova un quadrato perfetto di sei cifre in cui le ultime tre cifre superano le prime tre esattamente di uno.

Trova, mostrando il tuo metodo, un numero intero a sei cifre $n$ con le seguenti proprietà: (i) $n$ è un quadrato perfetto, (ii) il numero formato dalle ultime tre cifre di $n$ è esattamente uno maggiore del numero formato dalle prime tre cifre di $n$. (In questo modo $n$ potrebbe sembrare $123124$, anche se questo non è un quadrato.)

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Square toast ABCD cut in half; find shortest straight cut dividing triangle ABC into equal areas.

A square piece of toast $ABCD$ of side length $1$ and centre $O$ is cut in half to form two equal pieces $ABC$ and $CDA$. If the triangle $ABC$ has to be cut into two parts of equal area, one would usually cut along the line of symmetry $BO$. However, there are other ways of doing this. Find, with justification, the length and location of the shortest straight cut which divides the triangle $ABC$ into two parts of equal area.

Topic: Geometria piana Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Stima Area: Geometria Fonte: apri PDF

Tostato quadrato ABCD tagliato a metà; trovare il triangolo di divisione del triangolo ABC tagliato a destra più corto in aree uguali.

Un pezzo quadrato di torta $ABCD$ di lunghezza laterale $1$ e centro $O$ viene tagliato a metà per formare due pezzi uguali $ABC$ e $CDA$. Se il triangolo $ABC$ deve essere tagliato in due parti di superficie uguale, di solito si taglia lungo la linea di simmetria $BO$. Tuttavia, ci sono altri modi di farlo. Trova, con giustificazione, la lunghezza e la posizione del taglio retto più breve che divide il triangolo $ABC$ in due parti di superficie uguale.

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Sequence u_n defined by recurrence; find c such that u_i divides u_j whenever i ≤ j.

For each positive integer $c$, the sequence $u_n$ of integers is defined by $u_1=1,u_2=c,u_n=(2n+1)u_{n-1}-(n^2-1)u_{n-2},(n\ge 3).$ For which values of $c$ does this sequence have the property that $u_i$ divides $u_j$ whenever $i\le j$?

(Note: If $x$ and $y$ are integers, then $x$ divides $y$ if and only if there exists an integer $z$ such that $y=xz$. For example, $x=4$ divides $y=-12$, since we can take $z=-3$.)

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Ricorsione, Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Sequenza u_n definita da recidiva; trovare c tale che u_i divida u_j ogni volta che i ≤ j.

Per ogni numero intero positivo $c$, la sequenza $u_n$ di numeri interi è definita da $u_1=1,u_2=c,u_n=(2n+1)u_{n-1}-(n^2-1)u_{n-2},(n\ge 3).$ Per quali valori di $c$ ha questa sequenza la proprietà che $u_i$ divide $u_j$ ogni volta che $i\le j$?

(Nota: se $x$ e $y$ sono interi, allora $x$ divide $y$ se e solo se esiste un intero $z$ tale che $y=xz$. Per esempio, $x=4$ divide $y=-12$, poiché possiamo prendere $z=-3$.)

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Two circles touch internally at M; tangent to inner circle meets outer at Q,R; prove equal angles at M.

Two circles touch internally at $M$. A straight line touches the inner circle at $P$ and cuts the outer circle at $Q$ and $R$. Prove that $\angle QMP=\angle RMP$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Due cerchi si toccano internamente a M; tangente al cerchio interno incontra l’esterno a Q,R; dimostrano angoli uguali a M.

Due cerchi si toccano internamente a $M$. Una linea retta tocca il cerchio interno a $P$ e taglia il cerchio esterno a $Q$ e $R$. Prove che $\angle QMP=\angle RMP$.

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Positive reals x,y,z satisfy 1/3 ≤ xy+yz+zx ≤ 3; find range of xyz and x+y+z.

Let $x,y,z$ be positive real numbers satisfying $\frac{1}{3}\le xy+yz+zx\le 3.$ Determine the range of values for (i) $xyz$, and (ii) $x+y+z$.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Estremalità, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Reali positivi x,y,z soddisfano 1/3 ≤ xy+yz+zx ≤ 3; trovare intervallo di xyz e x+y+z.

Se $x,y,z$ sono numeri reali positivi che soddisfano $\frac{1}{3}\le xy+yz+zx\le 3.$ Determina l’intervallo di valori per (i) $xyz$ e (ii) $x+y+z$.

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