British Mathematical Olympiad 1992-93 — Round 2

Find smallest a+b+c for angle unit with distinct labelled angles in nested triangles

We usually measure angles in degrees, but we can use any other unit we choose. For example, if we use $30^{\circ }$ as a new unit, then the angles of a $30^{\circ }$, $60^{\circ }$, $90^{\circ }$ triangle would be equal to $1$, $2$, $3$ new units respectively.

The diagram shows a triangle $ABC$ with a second triangle $DEF$ inscribed in it. All the angles in the diagram are whole number multiples of some new (unknown unit); their sizes $a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,\ell$ with respect to this new angle unit are all distinct.

Find the smallest possible value of $a+b+c$ for which such an angle unit can be chosen, and mark the corresponding values of the angles $a$ to $\ell$ in the diagram.

Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca la più piccola a+b+c per unità angolare con angoli segnalati distinti nei triangoli nidificati

Di solito misuriamo gli angoli in gradi, ma possiamo usare qualsiasi altra unità che scegliamo. Ad esempio, se usiamo $30^{\circ }$ come nuova unità, allora gli angoli di un triangolo $30^{\circ }$, $60^{\circ }$, $90^{\circ }$ sarebbero uguali rispettivamente a $1$, $2$, $3$ nuove unità.

Il diagramma mostra un triangolo $ABC$ con un secondo triangolo $DEF$ inserito in esso. Tutti gli angoli del diagramma sono multipli interi di qualche nuova (unità sconosciuta); le loro dimensioni $a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,\ell$ rispetto a questa nuova unità angolare sono tutte distinte.

Trova il minimo valore possibile di $a+b+c$ per il quale si può scegliere un’unità di angolo e segna i valori corrispondenti degli angoli $a$ a $\ell$ nel diagramma.

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Prove 2^(m-1) ≡ 1 mod m where m=(4^p−1)/3, p prime >3

Let $m=(4^p-1)/3$, where $p$ is a prime number exceeding $3$. Prove that $2^{m-1}$ has remainder $1$ when divided by $m$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Prova 2^(m-1) 1 mod m dove m=4^p−1)/3, p primo >3

Let $m=(4^p-1)/3$, dove $p$ è un numero primo superiore a $3$. Prove che $2^{m-1}$ ha un residuo $1$ diviso per $m$.

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Internal point P of triangle; prove PA sin∠BAC/sin α = PB sin∠CBA/sin β = PC sin∠ACB/sin γ

Let $P$ be an internal point of triangle $ABC$ and let $\alpha ,\beta ,\gamma$ be defined by $\alpha =\angle BPC-\angle BAC,\beta =\angle CPA-\angle CBA,\gamma =\angle APB-\angle ACB.$ Prove that $PA\frac{\sin \angle BAC}{\sin \alpha }=PB\frac{\sin \angle CBA}{\sin \beta }=PC\frac{\sin \angle ACB}{\sin \gamma }.$

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Punto interno del triangolo; prova PA sinBAC/sin α = PB sinCBA/sin β = PC sinACB/sin γ

Che $P$ sia un punto interno del triangolo $ABC$ e che $\alpha ,\beta ,\gamma$ sia definito da $\alpha =\angle BPC-\angle BAC,\beta =\angle CPA-\angle CBA,\gamma =\angle APB-\angle ACB.$ Provi che $PA\frac{\sin \angle BAC}{\sin \alpha }=PB\frac{\sin \angle CBA}{\sin \beta }=PC\frac{\sin \angle ACB}{\sin \gamma }.$

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Average of sum of absolute consecutive digit differences over Z(m,n)

The set $Z(m,n)$ consists of all integers $N$ with $mn$ digits which have precisely $n$ ones, $n$ twos, $n$ threes, $\dots$, $n$ $m$s. For each integer $N\in Z(m,n)$, define $d(N)$ to be the sum of the absolute values of the differences of all pairs of consecutive digits. For example, $122313\in Z(3,2)$ with $d(122313)=1+0+1+2+2=6$. Find the average value of $d(N)$ as $N$ ranges over all possible elements of $Z(m,n)$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Doppio conteggio, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*Medio della somma delle differenze di cifre assolute consecutive su Z(m,n) *

L’insieme $Z(m,n)$ è composto da tutti gli enti $N$ con cifre $mn$ che hanno precisamente $n$ uno, $n$ due, $n$ tre, $\dots$, $n$ $m$s. Per ogni numero intero $N\in Z(m,n)$, definire $d(N)$ come la somma dei valori assoluti delle differenze di tutte le coppie di cifre consecutive. Ad esempio, $122313\in Z(3,2)$ con $d(122313)=1+0+1+2+2=6$. Trova il valore medio di $d(N)$ in quanto $N$ si estende su tutti i possibili elementi di $Z(m,n)$.

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