British Mathematical Olympiad 1993-94 — Round 1

Three-digit number ratio n/f(n) where f sums digits, pair products, full product

Starting with any three digit number $n$ (such as $n=625$) we obtain a new number $f(n)$ which is equal to the sum of the three digits of $n$, their three products in pairs, and the product of all three digits. (i) Find the value of $n/f(n)$ when $n=625$. (The answer is an integer!) (ii) Find all three digit numbers such that the ratio $n/f(n)=1$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Relazione numerica a tre cifre n/f(n) in cui f somma cifre, prodotti in coppia, prodotto completo

A partire da qualsiasi numero a tre cifre $n$ (come $n=625$) otteniamo un nuovo numero $f(n)$ che equivale alla somma delle tre cifre di $n$, dei loro tre prodotti in coppia e del prodotto di tutte e tre le cifre. (i) Trova il valore di $n/f(n)$ quando $n=625$. (La risposta è un numero intero!) (ii) Trova tutti e tre i numeri a tre cifre in modo che il rapporto $n/f(n)=1$.

src_bmo_1993-94_round1__Q01

Identify triangle ACX given angle and midpoint/trisection conditions

In triangle $ABC$ the point $X$ lies on $BC$. (i) Suppose that $\angle BAC=90^{\circ }$, that $X$ is the midpoint of $BC$, and that $\angle BAX$ is one third of $\angle BAC$. What can you say (and prove!) about triangle $ACX$? (ii) Suppose that $\angle BAC=60^{\circ }$, that $X$ lies one third of the way from $B$ to $C$, and that $AX$ bisects $\angle BAC$. What can you say (and prove!) about triangle $ACX$?

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Identificare il triangolo ACX con un’angolazione data e le condizioni di punto medio/trisezione

Nel triangolo $ABC$ il punto $X$ si trova su $BC$. (i) Supponiamo che $\angle BAC=90^{\circ }$, che $X$ sia il punto medio di $BC$, e che $\angle BAX$ sia un terzo di $\angle BAC$. Cosa puoi dire (e dimostrare!) sul triangolo $ACX$? (ii) Supponiamo che $\angle BAC=60^{\circ }$, che $X$ sia un terzo del percorso da $B$ a $C$, e che $AX$ dividi $\angle BAC$. Cosa puoi dire (e dimostrare!) sul triangolo $ACX$?

src_bmo_1993-94_round1__Q02

Integer recurrence u_{n+1}u_{n-1}=k u_n; find all k given u_2000=2000

The sequence of integers $u_0,u_1,u_2,u_3,\dots$ satisfies $u_0=1$ and $u_{n+1}{u}_{n-1}=k{u}_n\text{for each}n\ge 1,$ where $k$ is some fixed positive integer. If $u_{2000}=2000$, determine all possible values of $k$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricorrenza integrale u_{n+1}u_{n-1}=k u_n; trovare tutti i k dati u_2000=2000

La sequenza di interi $u_0,u_1,u_2,u_3,\dots$ soddisfa $u_0=1$ e $u_{n+1}{u}_{n-1}=k{u}_n\text{for each}n\ge 1,$ dove $k$ è un intero positivo fisso. Se $u_{2000}=2000$, determinare tutti i possibili valori di $k$.

src_bmo_1993-94_round1__Q03

Tangent circle and circumcircle configuration; prove angle PAR equals angle ABC

The points $Q,R$ lie on the circle $\gamma$, and $P$ is a point such that $PQ,PR$ are tangents to $\gamma$. $A$ is a point on the extension of $PQ$, and ${\gamma }^{\prime }$ is the circumcircle of triangle $PAR$. The circle ${\gamma }^{\prime }$ cuts $\gamma$ again at $B$, and $AR$ cuts $\gamma$ at the point $C$. Prove that $\angle PAR=\angle ABC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Configurazione di circolo tangente e di circolo circoncircolare; prova che l’angolo PAR è uguale all’angolo ABC

I punti $Q,R$ si trovano sul cerchio $\gamma$, e $P$ è un punto tale che $PQ,PR$ siano tangenti a $\gamma$. $A$ è un punto sull’estensione di $PQ$, e ${\gamma }^{\prime }$ è il circoncircolo del triangolo $PAR$. Il cerchio ${\gamma }^{\prime }$ taglia di nuovo $\gamma$ al punto $B$ e $AR$ taglia $\gamma$ al punto $C$. Prove che $\angle PAR=\angle ABC$.

src_bmo_1993-94_round1__Q04

Count alternating increasing sequences from {1,…,n}; find A(20)

An $increasing$ sequence of integers is said to be \textbf{alternating} if it $starts$ with an $odd$ term, the second term is even, the third term is odd, the fourth is even, and so on. The empty sequence (with no term at all!) is considered to be alternating. Let $A(n)$ denote the number of alternating sequences which only involve integers from the set $\{1,2,\dots ,n\}$. Show that $A(1)=2$ and $A(2)=3$. Find the value of $A(20)$, and prove that your value is correct.

Topic: Combinatoria Metodo: Ricorsione, Conteggio, Induzione Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

*Contare le sequenze in aumento alternate da {1,…,n}; trovare A(20) *

Una sequenza di numeri interi $increasing$ si dice essere \textbf{alternating} se $starts$ con un termine $odd$, il secondo termine è pari, il terzo termine è impar, il quarto è pari, e così via. La sequenza vuota (senza termine affatto!) è considerata alternante. $A(n)$ indichi il numero di sequenze alternative che coinvolgono solo gli integri del set $\{1,2,\dots ,n\}$. Indicare che $A(1)=2$ e $A(2)=3$. Trova il valore di $A(20)$ e prova che il tuo valore è corretto.

src_bmo_1993-94_round1__Q05