British Mathematical Olympiad 1993-94 — Round 2

Find first integer n>1 whose sum-of-squares average is a perfect square

Find the first integer $n>1$ such that the average of $1^2,2^2,\dots ,n^2$ is itself a perfect square.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 337 Fonte: apri PDF

Trova il primo intero n>1 la cui media della somma di quadrati è un quadrato perfetto

Trova il primo intero $n>1$ in modo tale che la media di $1^2,2^2,\dots ,n^2$ sia un quadrato perfetto.

Risposta: 337 src_bmo_1993-94_round2__Q01

Count non-congruent triangles with integer sides and perimeter 1994

How many different (i.e.\ pairwise non-congruent) triangles are there with integer sides and with perimeter 1994?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Contare i triangoli non congruenti con lati interi e perimetro 1994

Quanti triangoli diversi (cioè non congruenti in coppia) ci sono con lati interi e con perimetro 1994?

src_bmo_1993-94_round2__Q02

Equal-angle chords in a circle: prove AR(AP+AR)=AQ(AQ+AS)

$AP$, $AQ$, $AR$, $AS$ are chords of a given circle with the property that $\angle PAQ=\angle QAR=\angle RAS.$ Prove that $AR(AP+AR)=AQ(AQ+AS).$

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Accordi di angolo uguale in un cerchio: prove AR(AP+AR)=AQ(AQ+AS)

$AP$, $AQ$, $AR$, $AS$ sono accordi di un circolo dato con la proprietà che $\angle PAQ=\angle QAR=\angle RAS.$ dimostra che $AR(AP+AR)=AQ(AQ+AS).$

src_bmo_1993-94_round2__Q03

Count perfect squares modulo 2^n

How many perfect squares are there (mod $2^n$)?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Induzione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare i quadrati perfetti modulo 2^n

Quanti quadrati perfetti ci sono (mod $2^n$)?

src_bmo_1993-94_round2__Q04