British Mathematical Olympiad 1994-95 — Round 1

Find positive integers whose square ends in four 4s

Find the first positive integer whose square ends in four $4$s (i.e. whose square ends in $4444$).

Find all positive integers whose square ends in four $4$s.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca interi positivi le cui estremità quadrate sono in quattro 4s

Trova il primo intero positivo il cui quadrato termina in quattro $4$s (cioè di cui le estremità quadrate sono $4444$).

Trova tutti gli integri positivi i cui quadrati finiscono in quattro $4$s.

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Regular octagon with side 2; midpoints of two sides; find length XY

$ABCDEFGH$ is a regular octagon with side $2$. $M$ is the midpoint of $BC$, and $N$ is the midpoint of $EF$. The lines $AM$, $CH$, $EF$ and $GN$ are drawn. Let $X$ be the intersection of $AM$ and $CH$, and let $Y$ be the intersection of $GN$ and $EF$ [exact auxiliary lines partially unclear in source]. Find the length of $XY$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Ottagone regolare con lato 2; punti di mezzo di due lati; trovare lunghezza XY

$ABCDEFGH$ è un ottagono regolare con lato $2$. $M$ è il punto medio di $BC$ e $N$ è il punto medio di $EF$. Le linee $AM$, $CH$, $EF$ e $GN$ sono disegnate. La $X$ è l’intersezione di $AM$ e $CH$, e la $Y$ è l’intersezione di $GN$ e $EF$ [linee ausiliarie esatte parzialmente non chiare nella fonte]. Trova la lunghezza di $XY$.

src_bmo_1994-95_round1__Q02

Find max and min of cyclic expression over unit cube

(a) Find the maximum value of the expression $x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x$ when $0\le x\le 1$, $0\le y\le 1$, $0\le z\le 1$.

(b) Find the minimum value of the expression $x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x$ when $0\le x\le 1$, $0\le y\le 1$, $0\le z\le 1$.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Casework accurato Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca il massimo e il minimo di espressione ciclica su cubo unitario

(a) Trovare il valore massimo dell’espressione $x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x$ quando $0\le x\le 1$, $0\le y\le 1$, $0\le z\le 1$.

b) Trova il valore minimo dell’espressione $x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x$ quando $0\le x\le 1$, $0\le y\le 1$, $0\le z\le 1$.

src_bmo_1994-95_round1__Q03

Right-angled triangle; angle bisectors; feet of perpendiculars to hypotenuse; find MN

$ABC$ is a triangle, right-angled at $C$. The internal bisectors of angles $BAC$ and $ABC$ meet $BC$ and $CA$ at $P$ and $Q$ respectively. The points $M$ and $N$ are the feet of the perpendiculars from $P$ and $Q$ to $AB$. Find $MN$ in terms of the lengths of the sides of the triangle.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo rettangolo; bisetti d’angolo; piedi perpendicolari all’ipotenusa; trovare MN

$ABC$ è un triangolo, angolato a destra a $C$. I bisettori interni degli angoli $BAC$ e $ABC$ incontrano $BC$ e $CA$ rispettivamente a $P$ e $Q$. I punti $M$ e $N$ sono i piedi delle perpendicolari da $P$ e $Q$ a $AB$. Trova $MN$ in termini di lunghezze dei lati del triangolo.

src_bmo_1994-95_round1__Q04

Seven dwarfs queue by height rule; count valid queues with and without Snow White

The seven dwarfs decide to queue. They insist on queuing so that, in each group of consecutive dwarfs in the queue, the tallest dwarf in that group is at the front. How many such queues are possible?

What if Snow White always comes along too?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Ricorsione, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Sette nane in coda secondo la regola dell’altezza; contare le code valide con e senza Biancaneve

Le sette nane decidono di fare la fila. Insistono sulla coda in modo che, in ogni gruppo di nane consecutive nella coda, la nana più alta di quel gruppo sia in prima linea. Quante coda’ sono possibili?

E se anche Biancaneve viene sempre?

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