British Mathematical Olympiad 1994-95 — Round 2

Find all positive integer triples satisfying a product-equals-2 equation

Find all triples of positive integers $(a,b,c)$ such that $\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)=2.$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutti i tripli interi positivi che soddisfano un’equazione prodotto-uguagli-2

Trovare tutti i triples di numeri interi positivi $(a,b,c)$ in modo tale che $\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)=2.$

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Prove angle equality iff another angle equality in triangle midpoint configuration

Let $ABC$ be a triangle, and $D$, $E$, $F$ be the midpoints of $BC$, $CA$, $AB$ respectively. Prove that $\angle DAC=\angle ABE$ if and only if $\angle AFC=\angle ADB$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Prove equalità angolare se un’altra equalità angolare nella configurazione di punto medio triangolare

$ABC$ sia un triangolo, e $D$, $E$, $F$ siano i punti medi di $BC$, $CA$ e $AB$ rispettivamente. Prova che $\angle DAC=\angle ABE$ se e solo se $\angle AFC=\angle ADB$.

src_bmo_1994-95_round2__Q02

Prove inequality for real numbers in (0,4)

Let $a$, $b$, $c$ be real numbers with $0<a<b<c<4$. Prove that $0<a+b+c-abc<4$.

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Prove la disuguaglianza dei numeri reali in (0,4) *

$a$, $b$, $c$ siano numeri reali con $0<a<b<c<4$. Prove che $0<a+b+c-abc<4$.

src_bmo_1994-95_round2__Q03

Count pairings of 2n people; prove divisibility of multinomial

(a) Determine, with careful explanation, how many ways $2n$ people can be paired off to form $n$ teams of $2$.

(b) Prove that $(2mn)!$ is divisible by $((m!{)}^n(n!{)}^m{)}^2$ for all positive integers $m$, $n$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Induzione, Congruenze Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Conta coppie di 2n persone; dimostra divisibilità di multinomial

(a) Determinare, con una spiegazione attenta, in quanti modi le persone $2n$ possono essere accoppiate per formare squadre $n$ di $2$.

b) dimostrare che $(2mn)!$ è divisibile per $((m!{)}^n(n!{)}^m{)}^2$ per tutti gli integri positivi $m$, $n$.

src_bmo_1994-95_round2__Q04