British Mathematical Olympiad 1995-96 — Round 1

Find all four-digit perfect-square pairs differing by one in two digits

Consider the pair of four-digit positive integers $(M,N)=(3600,2500).$ Notice that $M$ and $N$ are both perfect squares, with equal digits in two places, and differing digits in the remaining two places. Moreover, when the digits differ, the digit in $M$ is exactly one greater than the corresponding digit in $N$. Find all pairs of four-digit positive integers $(M,N)$ with these properties.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le coppie quadrate perfette a quattro cifre che differiscono di una su due cifre

Considerate la coppia di numeri interi positivi a quattro cifre $(M,N)=(3600,2500).$ Si noti che $M$ e $N$ sono entrambi quadrati perfetti, con cifre uguali in due posti e cifre diverse nelle altre due posizioni. Inoltre, quando le cifre differiscono, la cifra di $M$ è esattamente una maggiore della cifra corrispondente di $N$. Trova tutte le coppie di interi positivi a quattro cifre $(M,N)$ con queste proprietà.

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Compute f(1996) given f(1)=1996 and a recursive sum condition

A function $f$ is defined over the set of all positive integers and satisfies $f(1)=1996$ and $f(1)+f(2)+\cdots +f(n)=n^{2}f(n)\text{for all }n>1.$ Calculate the exact value of $f(1996)$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*Calcolo f 1996) dato f 1) = 1996 e condizione somma ricorrente *

Una funzione $f$ è definita sull’insieme di tutti gli integri positivi e soddisfa $f(1)=1996$ e $f(1)+f(2)+\cdots +f(n)=n^{2}f(n)\text{for all }n>1.$ Calcola il valore esatto di $f(1996)$.

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Prove CO perpendicular to PQ using circle through A, O, B

Let $ABC$ be an acute-angled triangle, and let $O$ be its circumcentre. The circle through $A$, $O$ and $B$ is called $S$. The lines $CA$ and $CB$ meet the circle $S$ again at $P$ and $Q$ respectively. Prove that the lines $CO$ and $PQ$ are perpendicular.

(Given any triangle $XYZ$, its circumcentre is the centre of the circle which passes through the three vertices $X$, $Y$ and $Z$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Prove CO perpendicolare al PQ utilizzando un cerchio attraverso A, O, B

Lasciate che $ABC$ sia un triangolo a angolo acuto, e lasciate che $O$ sia il suo circoncentro. Il cerchio attraverso $A$, $O$ e $B$ si chiama $S$. Le linee $CA$ e $CB$ incontrano di nuovo il cerchio $S$ rispettivamente a $P$ e $Q$. Prova che le linee $CO$ e $PQ$ sono perpendicolari.

(Dato qualsiasi triangolo $XYZ$, il suo circoncentro è il centro del cerchio che attraversa i tre vertici $X$, $Y$ e $Z$.)

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Determine all n with q(n) > q(n+1) where q(n)=floor(n/floor(sqrt n))

For any real number $x$, let $\lfloor x\rfloor$ denote the greatest integer which is less than or equal to $x$. Define the function $q$ on the positive integers by $q(n)=\lfloor \frac{n}{\lfloor \sqrt{n}\rfloor }\rfloor \text{for }n=1,2,3,\dots$ Determine all positive integers $n$ for which $q(n)>q(n+1)$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Casework accurato, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Determina tutte le n con q(n) > q(n+1) dove q(n) = piano(n/piano(sqrt n))

Per qualsiasi numero reale $x$, $\lfloor x\rfloor$ indica il numero intero più grande inferiore o uguale a $x$. Definire la funzione $q$ sui numeri interi positivi con $q(n)=\lfloor \frac{n}{\lfloor \sqrt{n}\rfloor }\rfloor \text{for }n=1,2,3,\dots$ Determinare tutti i numeri interi positivi $n$ per i quali $q(n)>q(n+1)$.

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Prove 4(a^3+b^3) >= (a+b)^3 and 9(a^3+b^3+c^3) >= (a+b+c)^3

Let $a$, $b$ and $c$ be positive real numbers. (i) Prove that $4(a^3+b^3)\ge (a+b{)}^3$. (ii) Prove that $9(a^3+b^3+c^3)\ge (a+b+c{)}^3$.

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prova 4(a^3+b^3) >= (a+b)^3 e 9(a^3+b^3+c^3) >= (a+b+c)^3

$a$, $b$ e $c$ siano numeri reali positivi. (i) Prove che $4(a^3+b^3)\ge (a+b{)}^3$. (ii) Prove che $9(a^3+b^3+c^3)\ge (a+b+c{)}^3$.

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