British Mathematical Olympiad 1995-96 — Round 2

Find all non-negative integer solutions to 2^x + 3^y = z^2

Determine all sets of non-negative integers $x$, $y$ and $z$ which satisfy the equation $2^x+3^y=z^2.$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Casework accurato, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le soluzioni integrali non negative a 2^x + 3^y = z^2

Determinare tutti gli insiemi di integri non negativi $x$, $y$ e $z$ che soddisfano l’equazione $2^x+3^y=z^2.$

src_bmo_1995-96_round2__Q01

Triangles ABC and UVW with sides related by equations; prove ABC acute, find UVW angles

The sides $a,b,c$ and $u,v,w$ of two triangles $ABC$ and $UVW$ are related by the equations $u(v+w-u)=a^2,$ $v(w+u-v)=b^2,$ $w(u+v-w)=c^2.$ Prove that triangle $ABC$ is acute-angled and express the angles $U$, $V$, $W$ in terms of $A$, $B$, $C$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangoli ABC e UVW con lati correlati da equazioni; dimostrare l’ABC acuta, trovare angoli UVW

I lati $a,b,c$ e $u,v,w$ di due triangoli $ABC$ e $UVW$ sono correlati dalle equazioni $u(v+w-u)=a^2,$ $v(w+u-v)=b^2,$ $w(u+v-w)=c^2.$ Prove che il triangolo $ABC$ sia angolato acuto ed esprime gli angoli $U$, $V$, $W$ in termini di $A$, $B$, $C$.

src_bmo_1995-96_round2__Q02

Two circles touching externally at A and internally a third circle; prove B1B2 is common tangent

Two circles $S_1$ and $S_2$ touch each other externally at $A$; they also touch a circle $S$ internally at $B_1$ and $B_2$ respectively. Let $P$ be the point where the common internal tangent to $S_1$ and $S_2$ meets the arc $B_1{B}_2$ of $S$ not containing the point diametrically opposite to $A$ on $S$. The line $PA$ meets $S_1$ again at $Q_1$, and meets $S_2$ again at $Q_2$. Prove that $B_1{B}_2$ is a common tangent to $S_1$ and $S_2$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Due cerchi che si toccano esternamente a A e internamente un terzo cerchio; dimostrare che B1B2 è tangente comune

Due cerchi $S_1$ e $S_2$ si toccano all’esterno a $A$; toccano anche un cerchio $S$ all’interno rispettivamente a $B_1$ e $B_2$. $P$ è il punto in cui la tangente interna comune di $S_1$ e $S_2$ incontra l’arco $B_1{B}_2$ di $S$ che non contiene il punto diametralmente opposto a $A$ di $S$. La linea $PA$ incontra di nuovo $S_1$ a $Q_1$ e incontra di nuovo $S_2$ a $Q_2$. Provare che $B_1{B}_2$ è una tangente comune di $S_1$ e $S_2$.

src_bmo_1995-96_round2__Q03

Find all positive reals a,b,c,d satisfying two symmetric equations

Let $a,b,c,d$ be positive real numbers such that $a+b+c+d=ab+bc+cd+da$ and $abcd=27.$ Find all possible values of $a$, $b$, $c$, $d$.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutti i reali positivi a,b,c,d che soddisfano due equazioni simmetriche

Che $a,b,c,d$ siano numeri reali positivi in modo tale che $a+b+c+d=ab+bc+cd+da$ e $abcd=27.$ Trovino tutti i possibili valori di $a$, $b$, $c$, $d$.

src_bmo_1995-96_round2__Q04