British Mathematical Olympiad 1996-97 — Round 1

Reverse digits of N equals 4N+3; find all four-digit N

$N$ is a four-digit integer, not ending in zero, and $B(N)$ is the four-digit integer obtained by reversing the digits of $N$. For example, $B(3275)=5723$.

Determine all such integers $N$ for which $B(N)=4N+3$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*Gli numeri inversi di N sono uguali a 4N+3; trovare tutti i N a quattro cifre *

$N$ è un numero intero a quattro cifre, che non termina in zero, e $B(N)$ è il numero intero a quattro cifre ottenuto invertendo i numeri di $N$. Ad esempio, $B(3275)=5723$.

Determinare tutti i numeri interi $N$ per i quali $B(N)=4N+3$.

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Sequence with a_{n+1} defined by digit sum; find a_{1997}

For positive integers $n\ge 1$, define the sequence $a_1,a_2,a_3,\dots$ by $a_1=1,a_{n+1}=a_n+\frac{n+1}{\text{largest prime factor of }(n+1)},n\ge 1.$ Determine the value of $a_{1997}$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Induzione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Sequenza con a_{n+1} definita da somma di cifre; trovare a_{1997}

Per i numeri interi positivi $n\ge 1$, definire la sequenza $a_1,a_2,a_3,\dots$ da $a_1=1,a_{n+1}=a_n+\frac{n+1}{\text{largest prime factor of }(n+1)},n\ge 1.$ Determinare il valore di $a_{1997}$.

src_bmo_1996-97_round1__Q02

Count ways to pay 1997 Pippins with decimal coins

The Dwarfs in the Land-under-the-Mountain have just adopted a completely decimal currency system based on the Pippin. The coins available are worth 1 Pippin, 10 Pippins, 100 Pippins and 1000 Pippins.

In how many ways is it possible for a Dwarf to pay, in exact coinage, a bill of 1997 Pippins?

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conta i modi di pagamento 1997 Pippin con monete decimali

I Nani della Terra sotto la Montagna hanno appena adottato un sistema di valuta decimale completamente basato sul Pippin. Le monete disponibili valgono 1 Pippin, 10 Pippin, 100 Pippin e 1000 Pippin.

In quanti modi è possibile per un Nano pagare, in moneta esatta, una bolletta di Pippin del 1997?

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Quadrilateral with inscribed circle; prove PQRS area half of ABCD

Let $ABCD$ be a convex quadrilateral which has an inscribed circle (i.e., a circle touching all four sides). The midpoints of $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ are $P$, $Q$, $R$, $S$ respectively. Prove that the area of the quadrilateral $PQRS$ is half the area of $ABCD$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quadrilaterale con un cerchio inciso; dimostrare la superficie PQRS metà di ABCD

Che il $ABCD$ sia un quadrilaterale convexo che abbia un cerchio inciso (cioè un cerchio che tocca tutti e quattro i lati). I punti intermedi di $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ sono rispettivamente $P$, $Q$, $R$ e $S$. Prove che l’area del quadrilaterale $PQRS$ è la metà dell’area di $ABCD$.

src_bmo_1996-97_round1__Q04

Positive reals x, y with x+y>=2; two inequality questions

Let $x$ and $y$ be positive real numbers.

(a) If $x+y\ge 2$, is it necessarily true that $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge 2$?

(b) If $x+y\ge 2$, is it necessarily true that $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge 2$?

Topic: Disuguaglianze Metodo: Casework, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Reali positivi x, y con x+y>=2; due domande di disuguaglianza

$x$ e $y$ siano numeri reali positivi.

(a) Se $x+y\ge 2$, è necessariamente vero che $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge 2$?

b) Se $x+y\ge 2$, è necessariamente vero che $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge 2$?

src_bmo_1996-97_round1__Q05