British Mathematical Olympiad 1996-97 — Round 2

Divisibility by 7 preserved under digit swaps between two integers

Let $M$ and $N$ be two 9-digit positive integers with the property that if any one digit of $M$ is replaced by the digit of $N$ in the corresponding place (e.g., the ‘tens’ digit of $M$ replaced by the ‘tens’ digit of $N$) then the resulting integer is a multiple of $7$. Prove that any number obtained by replacing a digit of $N$ by the corresponding digit of $M$ is also a multiple of $7$. Find an integer $d>9$ such that the above result concerning divisibility by $7$ remains true when $M$ and $N$ are two $d$-digit positive integers.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Divisibilità per 7 conservata in scambi digitali tra due integri

Che $M$ e $N$ siano due integri positivi a 9 cifre con la proprietà che se una cifra di $M$ viene sostituita dalla cifra di $N$ al posto corrispondente (ad esempio, la cifra “dieci” di $M$ è sostituita dalla cifra “dieci” di $N$), il numero intero risultante è un multiple di $7$. Prova che qualsiasi numero ottenuto sostituendo una cifra di $N$ con la cifra corrispondente di $M$ è anche un multiple di $7$. Trova un intero $d>9$ tale che il risultato sopra riportato in merito alla divisibilità per $7$ rimanga vero quando $M$ e $N$ sono due integri positivi a 2 cifre $d$.

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Triangle with equal median and altitude is equilateral

In the acute-angled triangle $ABC$, $CF$ is an altitude, with $F$ on $AB$, and $BM$ is a median, with $M$ on $CA$. Given that $BM=CF$ and $\angle MBC=\angle FCA$, prove that the triangle $ABC$ is equilateral.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Un triangolo con media e altitudine uguali è equilaterale

Nel triangolo acuto $ABC$, $CF$ è un’altitudine, con $F$ su $AB$, e $BM$ è una media, con $M$ su $CA$. Dato che $BM=CF$ e $\angle MBC=\angle FCA$ dimostrano che il triangolo $ABC$ è equilaterale.

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Count degree-5 polynomials divisible by x^2-x+1

Find the number of polynomials of degree $5$ with $\text{distinct}$ coefficients from the set $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ that are divisible by $x^2-x+1$.

Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare polinomi di grado-5 divisibili per x^2-x+1

Trova il numero di polinomi di grado $5$ con i coefficienti $\text{distinct}$ dell’insieme $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ divisibili per $x^2-x+1$.

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Maximal arithmetic progressions of unit-fraction reciprocals

The set $S=\{1/r:r=1,2,3,\dots \}$ of reciprocals of the positive integers contains arithmetic progressions of various lengths. For instance, $1/20,1/8,1/5$ is such a progression, of length $3$ (and common difference $3/40$). Moreover, this is a $\text{maximal progression}$ in $S$ of length $3$ since it cannot be extended to the left or right within $S$ ($-1/40$ and $11/40$ not being members of $S$). (i) Find a maximal progression in $S$ of length $1996$. (ii) Is there a maximal progression in $S$ of length $1997$?

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Estremalità, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Progressioni aritmetiche massime delle reciprocità frazione-unità

L’insieme $S=\{1/r:r=1,2,3,\dots \}$ di reciprocità dei numeri interi positivi contiene progressioni aritmetiche di varie lunghezze. Ad esempio, $1/20,1/8,1/5$ è una tale progressione, di lunghezza $3$ (e differenza comune $3/40$). Inoltre, si tratta di un $\text{maximal progression}$ in $S$ di lunghezza $3$ poiché non può essere esteso a sinistra o a destra all’interno di $S$ ($-1/40$ e $11/40$ non essendo membri di $S$). (i) Trovare una progressione massima in $S$ di lunghezza $1996$. (ii) C’è una progressione massima in $S$ di lunghezza $1997$?

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