British Mathematical Olympiad 1997-98 — Round 1

5x5 grid filled like Latin square; analyze score below diagonal

A $5\times 5$ square is divided into $25$ unit squares. One of the numbers $1,2,3,4,5$ is inserted into each of the unit squares in such a way that each row, each column and each of the two diagonals contains each of the five numbers once and only once. The sum of the numbers in the four squares immediately below the diagonal from top left to bottom right is called the \emph{score}. Show that it is impossible for the score to be $20$. What is the highest possible score?

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Simmetria Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

• 5x5 griglia riempita come quadrato latino; analizzare il punteggio sotto diagonale*

Un quadrato $5\times 5$ è diviso in quadrati unitari $25$. Uno dei numeri $1,2,3,4,5$ viene inserito in ciascun quadrato di unità in modo tale che ogni riga, ogni colonna e ciascuna delle due diagonali contenga ciascuno dei cinque numeri una volta e solo una volta. La somma dei numeri nei quattro quadrati immediatamente sotto la diagonale dall’alto a sinistra a basso a destra si chiama il \emph{score}. Mostrare che è impossibile che il punteggio sia $20$. Qual è il punteggio più alto possibile?

src_bmo_1997-98_round1__Q01

Mod-100 Fibonacci-like sequence; sum of squares mod 8

Let $a_1=19$, $a_2=98$. For $n\ge 1$, define $a_{n+2}$ to be the remainder of $a_n+a_{n+1}$ when it is divided by $100$. What is the remainder when $a_1^2+a_2^2+\cdots +a_{1998}^2$ is divided by $8$?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Sequenza mod-100 simile a Fibonacci; somma dei quadrati mod 8

Il valore di $a_1=19$, $a_2=98$. Per $n\ge 1$, definire $a_{n+2}$ come il rimanente di $a_n+a_{n+1}$ quando diviso da $100$. Qual è il rimanente quando $a_1^2+a_2^2+\cdots +a_{1998}^2$ è diviso da $8$?

src_bmo_1997-98_round1__Q02

Isosceles triangle, parallelogram; prove M is midpoint of DA

$ABP$ is an isosceles triangle with $AB=AP$ and $\angle PAB$ acute. $PC$ is the line through $P$ perpendicular to $BP$, and $C$ is a point on this line on the same side of $BP$ as $A$. (You may assume that $C$ is not on the line $AB$.) $D$ completes the parallelogram $ABCD$. $PC$ meets $DA$ at $M$. Prove that $M$ is the midpoint of $DA$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo isosceles, parallelo; prova che M è il punto medio di DA

$ABP$ è un triangolo di uguali braccia con $AB=AP$ e $\angle PAB$ acuta. $PC$ è la linea attraverso $P$ perpendicolare a $BP$, e $C$ è un punto su questa linea sullo stesso lato di $BP$ come $A$. (Si può presumere che $C$ non sia sulla linea $AB$.) $D$ completa il parallelo $ABCD$. $PC$ soddisfa $DA$ al $M$. Provare che $M$ è il punto medio di $DA$.

src_bmo_1997-98_round1__Q03

Show unique positive-integer sequence satisfies given recurrence

Show that there is a unique sequence of positive integers $(a_n)$ satisfying the following conditions: $a_1=1,a_2=2,a_4=12,$ $a_{n+1}{a}_{n-1}=a_n^2\pm 1\text{for}n=2,3,4,\dots .$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Induzione, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Mostra una sequenza unica di numeri interi positivi che soddisfa una data ricorrenza

Indicare che esiste una sequenza unica di integri positivi $(a_n)$ che soddisfa le seguenti condizioni: $a_1=1,a_2=2,a_4=12,$ $a_{n+1}{a}_{n-1}=a_n^2\pm 1\text{for}n=2,3,4,\dots .$

src_bmo_1997-98_round1__Q04

Triangle with midpoint and trisection point; find angle BAC

In triangle $ABC$, $D$ is the midpoint of $AB$ and $E$ is the point of trisection of $BC$ nearer to $C$. Given that $\angle ADC=\angle BAE$ find $\angle BAC$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo con punto medio e punto trisezione; trovare angolo BAC

Nel triangolo $ABC$, $D$ è il punto medio di $AB$ e $E$ è il punto di trisezione di $BC$ più vicino a $C$. Dato che $\angle ADC=\angle BAE$ trova $\angle BAC$.

src_bmo_1997-98_round1__Q05