British Mathematical Olympiad 1997-98 — Round 2

Pigeonhole on ticket sales to many destinations

A booking office at a railway station sells tickets to 200 destinations. One day, tickets were issued to 3800 passengers. Show that (i) there are (at least) 6 destinations at which the passenger arrival numbers are the same; (ii) the statement becomes false if ‘6’ is replaced by ‘7’.

Topic: Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Pigeonhole sulle vendite di biglietti per molte destinazioni

Un ufficio di prenotazione di una stazione ferroviaria vende biglietti per 200 destinazioni. Un giorno furono rilasciati biglietti a 3.800 passeggeri. Indicare che i) ci sono (almeno) 6 destinazioni in cui i numeri di arrivo dei passeggeri sono gli stessi; ii) la dichiarazione diventa falsa se “6” viene sostituito da “7”.

src_bmo_1997-98_round2__Q01

Two circumcircles of a configuration touch

A triangle $ABC$ has $\angle BAC>\angle BCA$. A line $AP$ is drawn so that $\angle PAC=\angle BCA$ where $P$ is inside the triangle. A point $Q$ outside the triangle is constructed so that $PQ$ is parallel to $AB$, and $BQ$ is parallel to $AC$. $R$ is the point on $BC$ (separated from $Q$ by the line $AP$) such that $\angle PRQ=\angle BCA$.

Prove that the circumcircle of $ABC$ touches the circumcircle of $PQR$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Due circoncircoli di un tocco di configurazione

Un triangolo $ABC$ ha $\angle BAC>\angle BCA$. Una linea $AP$ è disegnata in modo che $\angle PAC=\angle BCA$, dove $P$ è all’interno del triangolo. Un punto $Q$ al di fuori del triangolo è costruito in modo che $PQ$ sia parallelo a $AB$ e $BQ$ sia parallelo a $AC$. $R$ è il punto su $BC$ (separato da $Q$ dalla riga $AP$) tale che $\angle PRQ=\angle BCA$.

Dimostrare che il circoncircolo di $ABC$ tocca il circoncircolo di $PQR$.

src_bmo_1997-98_round2__Q02

Reciprocal equation: hxyz and h(y-x) are perfect squares

Suppose $x,y,z$ are positive integers satisfying the equation $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{z},$ and let $h$ be the highest common factor of $x,y,z$.

Prove that $hxyz$ is a perfect square.

Prove also that $h(y-x)$ is a perfect square.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Equazione reciproca: hxyz e h(y-x) sono quadrati perfetti

Supponiamo che $x,y,z$ siano integri positivi che soddisfano l’equazione $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{z},$ e che $h$ sia il fattore comune più alto di $x,y,z$.

Prova che $hxyz$ è un quadrato perfetto.

Prova anche che $h(y-x)$ è un quadrato perfetto.

src_bmo_1997-98_round2__Q03

Symmetric system: find unique positive solution

Find a solution of the simultaneous equations $xy+yz+zx=12$ $xyz=2+x+y+z$ in which all of $x,y,z$ are positive, and prove that it is the only such solution.

Show that a solution exists in which $x,y,z$ are real and distinct.

Topic: Algebra Metodo: Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Sistema simmetrico: trovare soluzione positiva unica

Trova una soluzione delle equazioni simultanee $xy+yz+zx=12$ $xyz=2+x+y+z$ in cui tutte le $x,y,z$ sono positive e prova che è l’unica tale soluzione.

Mostrare che esiste una soluzione in cui $x,y,z$ sono reali e distinte.

src_bmo_1997-98_round2__Q04