British Mathematical Olympiad 1998-99 — Round 1

Four children’s distinct ages satisfying two squared-sum conditions

I have four children. The age in years of each child is a positive integer between 2 and 16 inclusive and all four ages are distinct. A year ago the square of the age of the oldest child was equal to the sum of the squares of the ages of the other three. In one year’s time the sum of the squares of the ages of the oldest and the youngest will be equal to the sum of the squares of the other two children.

Decide whether this information is sufficient to determine their ages uniquely, and find all possibilities for their ages.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Quattro bambini di diverse età che soddisfano due condizioni di somma quadrata

Ho quattro figli. L’età degli anni di ciascun bambino è un numero intero positivo compreso tra 2 e 16 anni e tutte e quattro le età sono diverse. Un anno fa il quadrato dell’età del bambino più grande era uguale alla somma dei quadrati dell’età degli altri tre. Tra un anno la somma dei quadrati delle età del più anziano e del più giovane sarà uguale alla somma dei quadrati degli altri due bambini.

Decidere se queste informazioni sono sufficienti per determinare l’età in modo unico e trovare tutte le possibilità per la loro età.

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Prove tan(APX)/tan(PAX) is constant as P moves on circle

A circle has diameter $AB$ and $X$ is a fixed point of $AB$ lying between $A$ and $B$. A point $P$, distinct from $A$ and $B$, lies on the circumference of the circle. Prove that, for all possible positions of $P$, $\frac{\tan \angle APX}{\tan \angle PAX}$ remains constant.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Prove tan(APX)/tan(PAX) è costante mentre P si muove su un cerchio

Un cerchio ha un diametro $AB$ e $X$ è un punto fisso di $AB$ situato tra $A$ e $B$. Un punto $P$, distinto da $A$ e $B$, si trova sulla circonferenza del cerchio. Prove che, per tutte le posizioni possibili di $P$, $\frac{\tan \angle APX}{\tan \angle PAX}$ rimane costante.

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Find positive constant c so xy^2 - y^2 - x + y = c has exactly three positive integer solutions

Determine a positive constant $c$ such that the equation $x{y}^2-y^2-x+y=c$ has precisely three solutions $(x,y)$ in positive integers.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Trovare costante positiva c così xy^2 - y^2 - x + y = c ha esattamente tre soluzioni interi positive

Determinare una costante positiva $c$ tale che l’equazione $x{y}^2-y^2-x+y=c$ abbia precisamente tre soluzioni $(x,y)$ in numeri interi positivi.

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Base-3 digit cube sum iteration eventually reaches 1, 2, or 17

Any positive integer $m$ can be written uniquely in base 3 form as a string of 0’s, 1’s and 2’s (not beginning with a zero). For example, $98=(1\times 81)+(0\times 27)+(1\times 9)+(2\times 3)+(2\times 1)=(10122{)}_3.$ Let $c(m)$ denote the sum of the cubes of the digits of the base 3 form of $m$; thus, for instance $c(98)=1^3+0^3+1^3+2^3+2^3=18.$ Let $n$ be any fixed positive integer. Define the sequence $(u_r)$ by $u_1=n\text{and}{u}_r=c(u_{r-1})\text{for }r\ge 2.$ Show that there is a positive integer $r$ for which $u_r=1$, $2$ or $17$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Invarianti, Casework, Estremalità Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

L’iterazione della somma di cubo di base a 3 cifre raggiunge infine 1, 2 o 17

Qualsiasi numero intero positivo $m$ può essere scritto in modo unico nella forma di base 3 come una stringa di 0’s, 1’s e 2’s (non iniziando con uno zero). Ad esempio, $98=(1\times 81)+(0\times 27)+(1\times 9)+(2\times 3)+(2\times 1)=(10122{)}_3.$ $c(m)$ indichi la somma dei cubi dei numeri della forma base 3 di $m$; quindi, ad esempio $c(98)=1^3+0^3+1^3+2^3+2^3=18.$ $n$ sia un intero positivo fisso. Definire la sequenza $(u_r)$ con $u_1=n\text{and}{u}_r=c(u_{r-1})\text{for }r\ge 2.$ Mostra che esiste un intero positivo $r$ per il quale $u_r=1$, $2$ o $17$.

src_bmo_1998-99_round1__Q04

Find all p such that f(1999)=p for a bijective function with a recurrence condition

Consider all functions $f$ from the positive integers to the positive integers such that (i) for each positive integer $m$, there is a unique positive integer $n$ such that $f(n)=m$; (ii) for each positive integer $n$, we have $f(n+1)\text{ is either }4f(n)-1\text{ or }f(n)-1.$ Find the set of positive integers $p$ such that $f(1999)=p$ for some function $f$ with properties (i) and (ii).

Topic: Insiemi e funzioni, Combinatoria Metodo: Invarianti, Ricorsione, Casework Abilita: Astrazione, Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le p in modo tale che f(1999)=p per una funzione bijectiva con una condizione di ricorrenza

Considera tutte le funzioni $f$ dai numeri interi positivi ai numeri interi positivi in modo che (i) per ogni intero positivo $m$, ci sia un intero positivo unico $n$ in modo che $f(n)=m$; (ii) per ogni intero positivo $n$, abbiamo $f(n+1)\text{ is either }4f(n)-1\text{ or }f(n)-1.$ Trovare l’insieme di interi positivi $p$ in modo che $f(1999)=p$ per qualche funzione $f$ con proprietà (i) e (ii).

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