British Mathematical Olympiad 1999-00 — Round 1

Two circles, common tangent; prove MQ bisects angle PMR

Two intersecting circles $C_1$ and $C_2$ have a common tangent which touches $C_1$ at $P$ and $C_2$ at $Q$. The two circles intersect at $M$ and $N$, where $N$ is nearer to $PQ$ than $M$ is. The line $PN$ meets the circle $C_2$ again at $R$. Prove that $MQ$ bisects angle $PMR$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Due cerchi, tangente comune; dimostrare che MQ bisecta angolo PMR

Due cerchi incrociati $C_1$ e $C_2$ hanno una tangente comune che tocca $C_1$ a $P$ e $C_2$ a $Q$. I due cerchi si incrociano a $M$ e $N$, dove $N$ è più vicino a $PQ$ rispetto a $M$. La linea $PN$ incontra nuovamente il cerchio $C_2$ a $R$. Provare che $MQ$ divide l’angolo $PMR$.

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Prove a certain expression in n is divisible by 2000

Show that, for every positive integer $n$, $121^n-25^n+1900^n-(-4{)}^n$ is divisible by 2000.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Prove che una certa espressione in n è divisibile per 2000

Mostra che per ogni intero positivo $n$, $121^n-25^n+1900^n-(-4{)}^n$ è divisibile per 2000.

src_bmo_1999-00_round1__Q02

Find point on triangle perimeter minimising sum of distances to vertices

Triangle $ABC$ has angles $60^{\circ }$, $75^{\circ }$, $45^{\circ }$ at $A$, $B$, $C$ respectively. A point $P$ on the perimeter of the triangle is such that $AP+BP+CP$ is minimised. Find the position of $P$.

Topic: Geometria piana Metodo: Estremalità, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Stima Area: Geometria Fonte: apri PDF

Punto di ritrovamento sul perimetro del triangolo riducendo al minimo la somma delle distanze verso i vertici

Il triangolo $ABC$ ha angoli $60^{\circ }$, $75^{\circ }$, $45^{\circ }$ rispettivamente a $A$, $B$ e $C$. Un punto $P$ sul perimetro del triangolo è tale da ridurre al minimo $AP+BP+CP$. Trova la posizione di $P$.

src_bmo_1999-00_round1__Q03

Collatz-like sequence; find all k for which 2000 appears

For each positive integer $n$, define $a_n$ as follows: $a_1=k$, and for $n\ge 1$, $a_{n+1}=\{\begin{array}{ll}\frac{a_n}{2}& \text{if }{a}_n\text{ is even,}\\ 3a_n+1& \text{if }{a}_n\text{ is odd.}\end{array}$ Determine all values of $k$ for which 2000 is a term of the sequence $(a_n{)}_{n\ge 1}$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Ricorsione, Backward, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Sequenza simile a Collatz; trovare tutti i k per i quali appare 2000

Per ogni numero intero positivo $n$ definire $a_n$ come segue: $a_1=k$, e per $n\ge 1$ $a_{n+1}=\{\begin{array}{ll}\frac{a_n}{2}& \text{if }{a}_n\text{ is even,}\\ 3a_n+1& \text{if }{a}_n\text{ is odd.}\end{array}$ determinare tutti i valori di $k$ per i quali 2000 è un termine della sequenza $(a_n{)}_{n\ge 1}$.

src_bmo_1999-00_round1__Q04

Count team formations for eight people into four unequal teams

The seven dwarfs decide to form four teams to compete in the Millennium Quiz. Of course, the sizes of the teams will be unequal. For instance, one team of Dopey alone, one of Sleepy, Happy and Grumpy, and one of Bashful and Sneezy, and one of Doc (the order of the teams does not matter, but each dwarf must be in exactly one team).

Suppose Snow White agreed to take part as well. In how many ways could the four teams then be formed?

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio, Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conteggi di squadre per otto persone in quattro squadre ineguaglie

Le sette nane decidono di formare quattro squadre per competere nel Millennium Quiz. Naturalmente, le dimensioni delle squadre non saranno uguali. Ad esempio, una squadra di Dopey da sola, una di Sleepy, Happy e Grumpy, e una di Bashful e Sneezy, e una di Doc (l’ordine delle squadre non importa, ma ogni nano deve essere esattamente in una squadra).

Supponiamo che anche Biancaneve abbia accettato di partecipare. In quanti modi potevano allora essere formate le quattro squadre?

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