British Mathematical Olympiad 1999-00 — Round 2

Two circles with common tangent: prove equal-area triangles MNP and MNQ

Two intersecting circles $C_1$ and $C_2$ have a common tangent which touches $C_1$ at $P$ and $C_2$ at $Q$. The two circles intersect at $M$ and $N$, where $N$ is nearer to $PQ$ than $M$ is. Prove that the triangles $MNP$ and $MNQ$ have equal areas.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Due cerchi con tangente comune: dimostrare i triangoli di superficie uguale MNP e MNQ

Due cerchi incrociati $C_1$ e $C_2$ hanno una tangente comune che tocca $C_1$ a $P$ e $C_2$ a $Q$. I due cerchi si incrociano a $M$ e $N$, dove $N$ è più vicino a $PQ$ rispetto a $M$. Provare che i triangoli $MNP$ e $MNQ$ hanno aree uguali.

src_bmo_1999-00_round2__Q01

Find minimum of x^2+4xy+4y^2+2z^2 given xyz=32

Given that $x,y,z$ are positive real numbers satisfying $xyz=32$, find the minimum value of $x^2+4xy+4y^2+2z^2.$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Risposta: 96 Fonte: apri PDF

Ricerca il minimo di x^2+4xy+4y^2+2z^2 dato xyz=32

Poiché $x,y,z$ sono numeri reali positivi che soddisfano $xyz=32$, trovare il valore minimo di $x^2+4xy+4y^2+2z^2.$

Risposta: 96 src_bmo_1999-00_round2__Q02

Find positive integers p,q satisfying a given floor/radical equation

Find positive integers $p$ and $q$ such that $p+q=\lfloor \sqrt{p}\rfloor +\lfloor \sqrt{q}\rfloor +\lfloor \sqrt{p+q}\rfloor .$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca dei numeri interi positivi p,q che soddisfano una determinata equazione piano/radicale

Trovare integri positivi $p$ e $q$ tali da $p+q=\lfloor \sqrt{p}\rfloor +\lfloor \sqrt{q}\rfloor +\lfloor \sqrt{p+q}\rfloor .$

src_bmo_1999-00_round2__Q03

Find a 10-element set where no 6 elements sum divisible by 6; what about 11?

(a) Find a set $A$ of ten positive integers such that no six members of $A$ have a sum which is divisible by $6$. (b) Is it possible to find such a set if “ten” is replaced by “eleven”?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze, Colorazione Abilita: Astrazione, Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Trova un insieme di 10 elementi in cui non ci sono 6 elementi sommati divisibili per 6; che dire di 11?

(a) Trovare un insieme $A$ di dieci integri positivi in modo tale che non ci siano sei membri di $A$ che abbiano una somma divisibile da $6$. (b) È possibile trovare tale insieme se “dieci” vengono sostituiti da “onze”?

src_bmo_1999-00_round2__Q04