British Mathematical Olympiad 2000-01 — Round 1

Two-digit N where digit-sum of 10^N minus 1 is divisible by 170

Find all two-digit integers $N$ for which the sum of the digits of $10^N-1$ is divisible by $170$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

N a due cifre in cui la somma di 10^N meno 1 è divisibile per 170

Trova tutti i numeri interi a due cifre $N$ per i quali la somma dei numeri di $10^N-1$ è divisibile da $170$.

src_bmo_2000-01_round1__Q01

Two tangent chords from point on outer circle: angle relation

Circle $S$ lies inside circle $T$ and touches it at $A$. From a point $P$ (distinct from $A$) on $T$, chords $PQ$ and $PR$ of $T$ are drawn touching $S$ at $X$ and $Y$ respectively. Show that $\angle QAR=2\angle XAY$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Due accordi tangenti dal punto sul cerchio esterno: rapporto angolare

Il cerchio $S$ si trova all’interno del cerchio $T$ e lo tocca a $A$. A partire da un punto $P$ (diverso da $A$) su $T$, vengono disegnati gli accordi $PQ$ e $PR$ di $T$ che toccano rispettivamente $S$ a $X$ e $Y$. Mostra che $\angle QAR=2\angle XAY$.

src_bmo_2000-01_round1__Q02

Seven distinct tetrominoes; pack them into a 4×7 rectangle

A tetromino is a figure made up of four unit squares connected at edges. (i) If we do not distinguish between the possible rotations of a tetromino within its plane, prove that there are seven distinct tetrominoes. (ii) Prove or disprove the statement: It is possible to pack all seven distinct tetrominoes into a $4\times 7$ rectangle without overlapping.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Colorazione, Invarianti Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Sette tetromini distinti; imballazione in un rettangolo 4×7

Un tetromino è una figura composta da quattro quadrati unitari collegati ai bordi. (i) Se non facciamo distinzione tra le possibili rotazioni di un tetromino all’interno del suo piano, dimostriamo che ci sono sette tetromino distinte. (ii) Provare o respingere l’affermazione: è possibile confezionare tutti e sette tetromini distinti in un rettangolo $4\times 7$ senza sovrapposizioni.

src_bmo_2000-01_round1__Q03

Sequence defined via nearest-integer function; prove terms form consecutive integers

Define the sequence $(a_n)$ by $a_0=0$, $a_1=1$, and $a_{n+1}=n{a}_n+(n-1)a_{n-1}$ where $n$ is a positive integer, and where $r$ denotes the nearest integer to $r$. Determine whether the terms $a_0,a_1,a_2,\dots$ form a sequence of consecutive integers.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Sequenza definita con la funzione integro più vicina; prove i termini formano integri consecutivi

Definire la sequenza $(a_n)$ con $a_0=0$, $a_1=1$ e $a_{n+1}=n{a}_n+(n-1)a_{n-1}$ dove $n$ è un intero positivo e dove $r$ indica il numero intero più vicino a $r$. Determinare se i termini $a_0,a_1,a_2,\dots$ costituiscono una sequenza di numeri interi consecutivi.

src_bmo_2000-01_round1__Q04

Triangle is right-angled iff a²+b²+c²=8R²

A triangle has sides of length $a$, $b$, $c$ and its circumcircle has radius $R$. Prove that the triangle is right-angled if and only if $a^2+b^2+c^2=8R^2$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Il triangolo è rettangolare se a2+b2+c2=8R2

Un triangolo ha lati di lunghezza $a$, $b$, $c$ e il suo circoncircolo ha raggio $R$. Prove che il triangolo è rettangolare se e solo se $a^2+b^2+c^2=8R^2$.

src_bmo_2000-01_round1__Q05