British Mathematical Olympiad 2000-01 — Round 2

Marble-passing game; find ratio p/q in terms of n

Ahmed and Beth have respectively $p$ and $q$ marbles, with $p>q$.

Starting with Ahmed, each in turn gives to the other as many marbles as the other already possesses. It is found that after $2n$ such transfers, Ahmed has $q$ marbles and Beth has $p$ marbles.

Find $\frac{p}{q}$ in terms of $n$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Ricorsione, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: $2^n$ Fonte: apri PDF

Gioco di marmo; trovare il rapporto p/q in termini di n

Ahmed e Beth hanno rispettivamente $p$ e $q$ marmi, con $p>q$.

A partire da Ahmed, ciascuno a sua volta dà all’altro quanti marmi che l’altro già possiede. Si scopre che dopo tali trasferimenti, Ahmed ha marmi $q$ e Beth ha marmi $p$.

Trova $\frac{p}{q}$ in termini di $n$.

Risposta: $2^n$ src_bmo_2000-01_round2__Q01

Find all integer pairs satisfying a Diophantine equation

Find all pairs of integers $(x,y)$ satisfying $1+x^{2}y=x^2+2xy+y.$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le coppie di numeri interi che soddisfano un’equazione diofantina

Trova tutte le coppie di integri $(x,y)$ soddisfacenti $1+x^{2}y=x^2+2xy+y.$

src_bmo_2000-01_round2__Q02

Angle bisector, perpendicular, and equal angles in a triangle

A triangle $ABC$ has $\angle ACB>\angle ABC$ (i.e.\ $AB>AC$).

The internal bisector of $\angle BAC$ meets $BC$ at $D$. The point $E$ on $AB$ is such that $\angle EDB=90^{\circ }$. The point $F$ on $AC$ is such that $\angle EDA=\angle FDC$.

Show that $\angle BAD=\angle FDC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Bissettore angolare, perpendicolare e angoli uguali in un triangolo

Un triangolo $ABC$ ha $\angle ACB>\angle ABC$ (cioè\ $AB>AC$).

Il bisettore interno di $\angle BAC$ incontra $BC$ a $D$. Il punto $E$ su $AB$ è tale che $\angle EDB=90^{\circ }$. Il punto $F$ su $AC$ è tale che $\angle EDA=\angle FDC$.

Mostra che $\angle BAD=\angle FDC$.

src_bmo_2000-01_round2__Q03

Numbers 1 to N in a circle; find max and min of sum of neighbour differences

$N$ numbers $1,2,3,\dots ,N$ are arranged in a circle. For each pair of neighbouring dwarfs the positive difference between the numbers is calculated, and the sum of these $N$ differences is called $V$.

Find (with proof) the maximum and minimum possible values of $V$.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework, Simmetria Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Numeri da 1 a N in un cerchio; trovare il massimo e il minimo della somma delle differenze vicine

I numeri $N$ $1,2,3,\dots ,N$ sono disposti in un cerchio. Per ogni coppia di nani vicini viene calcolata la differenza positiva tra i numeri, e la somma di queste differenze $N$ viene chiamata $V$.

Trova (con prova) i valori massimi e minimi possibili di $V$.

src_bmo_2000-01_round2__Q04