British Mathematical Olympiad 2001-02 — Round 1

Find positive integers m (even) and n (odd) with 1/m+1/n=4/2001

Find all positive integers $m$, $n$, where $n$ is odd, that satisfy $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{4}{2001}.$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca i numeri interi positivi m (pari) e n (odd) con 1/m+1/n=4/2001

Trova tutti gli integri positivi $m$, $n$, dove $n$ è odd, che soddisfano $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{4}{2001}.$

src_bmo_2001-02_round1__Q01

Cyclic quadrilateral, equal lengths CD=CP=DQ; prove angle CAD=40°

The quadrilateral $ABCD$ is inscribed in a circle. The diagonals $AC$, $BD$ meet at $P$. The sides $DA$, extended beyond $A$, and $CB$, extended beyond $B$, meet at $Q$. Given that $CD=CP=DQ$, prove that $\angle CAD=40^{\circ }$.

Topic: Geometria piana Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quadrilaterale ciclico, lunghezze uguali CD=CP=DQ; prova angolo CAD=40°

Il quadrilaterale $ABCD$ è inserito in un cerchio. Le diagonali $AC$, $BD$ si incontrano a $P$. I lati $DA$, estesi oltre $A$, e $CB$, estesi oltre $B$, si incontrano a $Q$. Dato che $CD=CP=DQ$, dimostrare che $\angle CAD=40^{\circ }$.

src_bmo_2001-02_round1__Q02

Find all positive integers n satisfying a floor-sum divisibility condition

Find all positive integers $n$ such that $n=\lfloor \frac{n}{1}\rfloor +\lfloor \frac{n}{2}\rfloor +\lfloor \frac{n}{3}\rfloor$ where $\lfloor x\rfloor$ denotes the integer part of $x$ (the largest integer less than or equal to the real number $x$).

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutti gli integri positivi n che soddisfano una condizione di divisibilità di somma minima

Trovare tutti gli integri positivi $n$ in modo tale che $n=\lfloor \frac{n}{1}\rfloor +\lfloor \frac{n}{2}\rfloor +\lfloor \frac{n}{3}\rfloor$ dove $\lfloor x\rfloor$ denota la parte integrale di $x$ (il numero intero più grande inferiore o uguale al numero reale $x$).

src_bmo_2001-02_round1__Q03

Count simultaneous handshake arrangements for 12 people at circular table

Twelve people are seated around a circular table. In how many ways can six pairs of people each shake hands simultaneously, so that no two pairs of people who are shaking hands are sitting next to each other at the table? (Nobody is allowed to shake hands with more than one person at once.)

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework, Ricorsione Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conteggiate le modalità di stretta di mano simultanea per 12 persone al tavolo circolare

Dodici persone sono sedute attorno a un tavolo circolare. In quanti modi sei coppie di persone possono stringersi la mano contemporaneamente, in modo che non ci siano due coppie di persone che stringeranno la mano sedute vicine l’una all’altra al tavolo? (A nessuno è permesso stringersi la mano di più di una persona contemporaneamente.)

src_bmo_2001-02_round1__Q04

Find all values of f(2001) for increasing function satisfying functional equation

$f$ is a function from ${\mathbb{Z}}^{+}$ to ${\mathbb{Z}}^{+}$, where ${\mathbb{Z}}^{+}$ is the set of non-negative integers, which satisfies a) $f(n+1)>f(n)$ for each $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$; b) $f(n+f(m))=f(n)+m+1$ for all $m,n\in {\mathbb{Z}}^{+}$. Find all possible values of $f(2001)$.

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Induzione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutti i valori di f(2001) per aumentare la funzione che soddisfa l’equazione funzionale

$f$ è una funzione da ${\mathbb{Z}}^{+}$ a ${\mathbb{Z}}^{+}$, dove ${\mathbb{Z}}^{+}$ è l’insieme di integri non negativi, che soddisfa a) $f(n+1)>f(n)$ per ogni $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$; b) $f(n+f(m))=f(n)+m+1$ per tutti $m,n\in {\mathbb{Z}}^{+}$. Trova tutti i valori possibili di $f(2001)$.

src_bmo_2001-02_round1__Q05