British Mathematical Olympiad 2001-02 — Round 2

Altitude foot perpendiculars form equal segment EF for any vertex

The altitude from a vertex of an acute-angled triangle $ABC$ meets the opposite side at $D$. From $D$ perpendiculars $DE$ and $DF$ are drawn to the other two sides. Prove that the length of $EF$ is the same whichever vertex is chosen.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Le perpendicolari dell’altitudine del piede formano segmento EF uguale per qualsiasi vertice

L’altitudine da un vertice di un triangolo acuto $ABC$ incontra il lato opposto a $D$. Da $D$ le perpendicolari $DE$ e $DF$ sono tracciate verso gli altri due lati. Prove che la lunghezza di $EF$ è la stessa a seconda del vertice scelto.

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Round table seating rule; find all n delegates that avoid collision

A conference hall has a round table with $n$ chairs. There are $n$ delegates. The first delegate chooses his or her seat arbitrarily. Thereafter the $(k+1)$-th delegate sits $k$ places to the left of the $k$-th delegate, for $1\le k\le n-1$. No chair can be occupied by more than one delegate. Find all values of $n$ for which this is possible.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Regola dei posti a tavola rotonda; trovare tutti i n delegati che evitano la collisione

Una sala conferenze dispone di un tavolo rotondo con sedie $n$. Ci sono delegati $n$. Il primo delegato sceglie arbitrariamente il suo posto. Successivamente, il delegato $(k+1)$-siede $k$ a sinistra del delegato $k$-th per $1\le k\le n-1$. Nessuna sedia può essere occupata da più di un delegato. Trova tutti i valori di $n$ per i quali questo è possibile.

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Recurrence with nested square root yields only integers

Prove that the sequence defined by $b_1=1,b_{n+1}=\frac{1}{2}\left(3b_n+\sqrt{5b_n^2-4}\right),(n\ge 1)$ consists only of integers.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Induzione, Invarianti, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

La ricorrenza con radice quadrata incastonata dà solo numeri interi

Prove che la sequenza definita da $b_1=1,b_{n+1}=\frac{1}{2}\left(3b_n+\sqrt{5b_n^2-4}\right),(n\ge 1)$ è composta solo da numeri interi.

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Product of tangent lengths from point to unit spheres bounded by distances to centres

$B_1,B_2,\dots ,B_n$ are spheres of unit radius arranged in space. Let $P$ be a point and for each $i$ ($1\le i\le n$) the length of the tangent from $P$ to the sphere $B_i$ is denoted by $t_i$. Prove that the product of the $t_i$ is not more than the product of the distances $P{C}_i$, where $C_i$ is the centre of $B_i$.

Topic: Geometria solida, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Produzione di lunghezze tangenti da punto a sfera unitaria delimitate da distanze verso i centri

$B_1,B_2,\dots ,B_n$ sono sfere di raggio unitario disposte nello spazio. Il punto $P$ è un punto e per ogni $i$ ($1\le i\le n$) la lunghezza della tangente da $P$ alla sfera $B_i$ è indicata da $t_i$. Prova che il prodotto della $t_i$ non è più del prodotto delle distanze $P{C}_i$, dove $C_i$ è il centro di $B_i$.

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