British Mathematical Olympiad 2002-03 — Round 1

Find digits contained in a specific large number

Given that $N=2022327994814814600943000000,$ determine the digits that $N$ contains, i.e. find which of the digits $0,1,\dots ,9$ appear in the decimal representation of $N$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca i numeri contenuti in un numero specifico grande

Dato che $N=2022327994814814600943000000,$ determina le cifre contenute in $N$, cioè trovare quale dei numeri $0,1,\dots ,9$ appare nella rappresentazione decimale di $N$.

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Incircle tangent point and perpendicular; prove BX is a diameter

The triangle $ABC$, where $AB<AC$, has an incircle which touches $BC$ at $S$. The perpendicular from $B$ to $AS$ meets the line $AS$ at the point $P$. Let $X$ be the point on $AC$ such that $PX\parallel BC$. Show that $BX$ is a diameter of the incircle.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Incircolare il punto tangente e perpendicolare; dimostrare che BX è un diametro

Il triangolo $ABC$, dove $AB<AC$, ha un incircolo che tocca $BC$ a $S$. La perpendicolare da $B$ a $AS$ incontra la linea $AS$ al punto $P$. $X$ sia il punto di $AC$ in modo tale che $PX\parallel BC$. Indicare che $BX$ è il diametro dell’incircolo.

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Prove symmetric inequality given sum of squares equals one

Let $x,y,z$ be positive real numbers such that $x^2+y^2+z^2=1$. Prove that $x^2{y}^2+y^2{z}^2+z^2{x}^2\le \frac{1}{3}.$

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove la disuguaglianza simmetrica data la somma dei quadrati equivale a uno

$x,y,z$ siano numeri reali positivi come $x^2+y^2+z^2=1$. Provare che $x^2{y}^2+y^2{z}^2+z^2{x}^2\le \frac{1}{3}.$

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Greatest number of red points on grid with no axis-aligned right triangle

Let $n$ be an integer greater than 1. Consider an $n\times n$ rectangular grid of points in the plane. Some $k$ of these points are coloured red in such a way that no red point is the vertex of a right-angled triangle two of whose sides are parallel to the sides of the grid. Determine the greatest value of $k$.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2n Fonte: apri PDF

Il maggior numero di punti rossi sulla griglia senza triangolo rettangolo allineato all’asse

$n$ sia un numero intero superiore a 1. Considera una griglia rettangolare $n\times n$ di punti nel piano. Alcuni $k$ di questi punti sono colorati in rosso in modo tale che nessun punto rosso sia il vertice di un triangolo rettangolare i cui lati sono paralleli ai lati della griglia. Determinare il valore massimo di $k$.

Risposta: 2n src_bmo_2002-03_round1__Q04

Find all positive integer solutions to factorial-power Diophantine equation

Find all solutions in positive integers $a,b$ to the equation $a!+b!=a^b+b^a.$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Casework accurato, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le soluzioni a numeri interi positivi per l’equazione diofantina di potenza fattoriale

Trova tutte le soluzioni in numeri interi positivi $a,b$ all’equazione $a!+b!=a^b+b^a.$

src_bmo_2002-03_round1__Q05