British Mathematical Olympiad 2002-03 — Round 2

Largest prime factor triples in arithmetic progression

For each integer $n>1$, let $p(n)$ denote the largest prime factor of $n$. Determine all triples $(x,y,z)$ of distinct positive integers satisfying: (i) $x,y,z$ are in arithmetic progression, and (ii) $p(x),p(y),p(z)$ are in arithmetic progression.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Il più piccolo fattore primo si triplica nella progressione aritmetica

Per ogni numero intero $n>1$, $p(n)$ indica il più grande fattore primo di $n$. Determinare tutti i triples $(x,y,z)$ di numeri interi positivi distinti che soddisfano: (i) $x,y,z$ sono in progressione aritmetica e (ii) $p(x),p(y),p(z)$ sono in progressione aritmetica.

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Triangle angle bisector meets median, prove angle less than 90 degrees

Let $ABC$ be a triangle. Let $D$ be the midpoint of $BC$. The angle bisector of $\angle BAC$ meets $BC$ at $E$. Prove that $\angle AED<90^{\circ }$ if $AB>AC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Bisettore angolo triangolo incontra la media, prova angolo inferiore a 90 gradi

Lasciate che $ABC$ sia un triangolo. $D$ sia il punto medio di $BC$. Il bisettore angolare di $\angle BAC$ incontra $BC$ a $E$. Prove che $\angle AED<90^{\circ }$ se $AB>AC$.

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Permutation of positive integers and monotone arithmetic progressions

Let $f$ be a permutation of the set $\mathbb{N}$ of all positive integers.

(i) Show that there is an arithmetic progression of positive integers $a,a+d,a+2d$ (where $d>0$) such that $f(a)<f(a+d)<f(a+2d).$ (ii) Must there be an arithmetic progression $a,a+d,a+2d,\dots ,a+2003d$ (where $d>0$) such that $f(a)<f(a+d)<f(a+2d)<\cdots <f(a+2003d)?$

Topic: Combinatoria, Insiemi e funzioni Metodo: Induzione, Estremalità, Invarianti Abilita: Astrazione, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Permutazione dei numeri interi positivi e delle progressioni aritmetiche monotone

$f$ sia una permutazione dell’insieme $\mathbb{N}$ di tutti i numeri interi positivi.

(i) Mostra che vi è una progressione aritmetica di integri positivi $a,a+d,a+2d$ (dove $d>0$) tale che $f(a)<f(a+d)<f(a+2d).$ (ii) Deve esserci una progressione aritmetica $a,a+d,a+2d,\dots ,a+2003d$ (dove $d>0$) tale che $f(a)<f(a+d)<f(a+2d)<\cdots <f(a+2003d)?$

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Count values less than 2003 in image of f with f(f(n))=n+2003

Let $f$ be a function from $\mathbb{N}$ to $\mathbb{N}$ (where $\mathbb{N}$ denotes the set of positive integers) such that $f(f(n))=n+2003$ for all $n\in \mathbb{N}$. How many values less than $2003$ are there in the image of $f$?

Topic: Insiemi e funzioni, Teoria dei Numeri Metodo: Invarianti, Fattorizzazione, Casework Abilita: Astrazione, Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Valutazioni di conteggio inferiori al 2003 nell’immagine di f con f(f(n))=n+2003

Let $f$ essere una funzione da $\mathbb{N}$ a $\mathbb{N}$ (dove $\mathbb{N}$ indica l’insieme di interi positivi) tale che $f(f(n))=n+2003$ per tutti $n\in \mathbb{N}$. Quanti valori inferiori a $2003$ ci sono nell’immagine di $f$?

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