British Mathematical Olympiad 2003-04 — Round 1

Solve simultaneous equations in four real numbers

Solve the simultaneous equations $a+b=c+d,$ $b+c=2a+b,$ $a+c=b+d,$ $a+b+c=6$ where $a,b,c,d$ are real numbers.

Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Solvi equazioni simultanee in quattro numeri reali

Risolvere le equazioni simultanee $a+b=c+d,$ $b+c=2a+b,$ $a+c=b+d,$ $a+b+c=6$ dove $a,b,c,d$ sono numeri reali.

src_bmo_2003-04_round1__Q01

Rectangle with midpoint and perpendicular; prove triangle isosceles

$ABCD$ is a rectangle, $P$ is the midpoint of $AB$, and $Q$ is the point on $PD$ such that $CQ$ is perpendicular to $PD$. Prove that the triangle $BQC$ is isosceles.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Rettangolo con punto medio e perpendicolare; prove triangolo isosceles

$ABCD$ è un rettangolo, $P$ è il punto medio di $AB$, e $Q$ è il punto su $PD$ in modo tale che $CQ$ sia perpendicolare a $PD$. Prove che il triangolo $BQC$ è uguale.

src_bmo_2003-04_round1__Q02

Card game: Alice always scores at least as much as Barbara

Alice and Barbara play a game with a pack of $26$ cards, on each of which is written a positive integer. The pack is shuffled and the cards laid out in a row, with the numbers facing upwards. Alice starts, and the girls take turns to remove one card from either end of the row, until Barbara picks up the final card. Each girl’s score is the sum of the numbers on her chosen cards. Prove that Alice can always obtain a score at least as great as Barbara’s.

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Simmetria Abilita: Modellizzazione, Astrazione, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Gioco di carte: Alice punta sempre almeno quanto Barbara

Alice e Barbara giocano a un gioco con un pacchetto di carte $26$, su ciascuna delle quali è scritto un intero positivo. Il pacchetto è mescolato e le carte disposte in fila, con i numeri rivolti verso l’alto. Alice inizia, e le ragazze si alternano per togliere una carta da entrambe le estremità della fila, fino a quando Barbara prende l’ultima carta. Il punteggio di ogni ragazza è la somma dei numeri sulle carte scelte. Dimostra che Alice può sempre ottenere un punteggio almeno grande come Barbara.

src_bmo_2003-04_round1__Q03

Count wicked subsets (no three consecutive) of {1,…,10}

A set of positive integers is defined to be wicked if it contains no three consecutive integers as elements; the empty set is a wicked set. Find the number of wicked subsets of $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$.

Topic: Combinatoria Metodo: Ricorsione, Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

*Contare i sottosetti malvagi (nessun tre successivi) di {1,…,10} *

Un insieme di numeri interi positivi è definito come cattivo se non contiene tre numeri interi consecutivi come elementi; l’insieme vuoto è un insieme cattivo. Trovare il numero di sottosette malvagi di $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$.

src_bmo_2003-04_round1__Q04

Primes p,q,r with q|p-1, r|p-1; find all values of pq

Let $p$, $q$ and $r$ be prime numbers. It is given that $q$ divides $p-1$, and $r$ divides $p-1$. Determine all possible values of $pq$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Primi p,q,r con q di p-1, rp-1; trovare tutti i valori di pq

Lasciate che $p$, $q$ e $r$ siano numeri primi. È dato che $q$ divide $p-1$ e $r$ divide $p-1$. Determinare tutti i possibili valori di $pq$.

src_bmo_2003-04_round1__Q05