British Mathematical Olympiad 2003-04 — Round 2

Circle tangent to side of equilateral triangle; prove length equality

Let $ABC$ be an equilateral triangle and $D$ an internal point of the side $BC$. A circle, tangent to $BC$ at $D$, cuts $AB$ internally at $M$ and $N$, and $AC$ internally at $P$ and $Q$.

Show that $BD+AM+AN=CD+AP+AQ$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Circolo tangente a lato di triangolo equilaterale; prova l’uguaglianza di lunghezza

Che $ABC$ sia un triangolo equilaterale e $D$ un punto interno del lato $BC$. Un cerchio, tangente a $BC$ a $D$, taglia $AB$ internamente a $M$ e $N$, e $AC$ internamente a $P$ e $Q$.

Mostra che $BD+AM+AN=CD+AP+AQ$.

src_bmo_2003-04_round2__Q01

Find integer with 2004 zeros and 2004 ones in binary, divisible by 2004

Show that there is an integer $n$ with the following properties: (i) the binary expansion of $n$ has precisely $2004$ $0$s and $2004$ $1$s; (ii) $2004$ divides $n$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze Abilita: Modellizzazione, Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Ricerca un numero intero con 0 del 2004 e 0 del 2004 in binario, divisibile per 2004

Indicare che esiste un intero $n$ con le seguenti proprietà: (i) l’espansione binaria di $n$ ha precisamente $2004$ $0$s e $2004$ $1$s; (ii) $2004$ divide $n$.

src_bmo_2003-04_round2__Q02

Sign of sum of cubes equivalent to sign of sum of fifth powers under zero sum

(a) Given real numbers $a,b,c$, with $a+b+c=0$, prove that $a^3+b^3+c^3>0\text{if and only if}{a}^5+b^5+c^5>0.$

(b) Given real numbers $a,b,c,d$, with $a+b+c+d=0$, prove that $a^3+b^3+c^3+d^3>0\text{if and only if}{a}^5+b^5+c^5+d^5>0.$

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Signolo della somma di cubetti equivalente a segno della somma di quinto poteri sotto somma zero

(a) Con i numeri reali $a,b,c$, con $a+b+c=0$, dimostrare che $a^3+b^3+c^3>0\text{if and only if}{a}^5+b^5+c^5>0.$

b) Con i numeri reali $a,b,c,d$, con $a+b+c+d=0$, dimostrare che $a^3+b^3+c^3+d^3>0\text{if and only if}{a}^5+b^5+c^5+d^5>0.$

src_bmo_2003-04_round2__Q03

Bounded number of distinct digit blocks implies rationality

The real number $x$ between $0$ and $1$ has decimal representation $0.a_1{a}_2{a}_3{a}_4\dots$ with the following property: the number of $distinct$ blocks of the form $a_k{a}_{k+1}{a}_{k+2}\dots a_{k+2003},$ as $k$ ranges through all positive integers, is less than or equal to $2004$.

Prove that $x$ is rational.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti, Invarianti Abilita: Astrazione, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Un numero limitato di blocchi di cifre distinte implica razionalità

Il numero reale $x$ tra $0$ e $1$ ha la rappresentazione decimale $0.a_1{a}_2{a}_3{a}_4\dots$ con la seguente proprietà: il numero di blocchi $distinct$ della forma $a_k{a}_{k+1}{a}_{k+2}\dots a_{k+2003},$ come $k$ si estende attraverso tutti i numeri interi positivi, è inferiore o uguale a $2004$.

Provare che $x$ è razionale.

src_bmo_2003-04_round2__Q04