British Mathematical Olympiad 2004-05 — Round 1

Find positive integer n from two money-sharing conditions

Each of Paul and Jenny has a whole number of pounds.

He says to her: “If you give me £3, I will have $n$ times as much as you.”

She says to him: “If you give me £$n$, I will have 3 times as much as you.”

Given that all these statements are true and that $n$ is a positive integer, what are the possible values for $n$?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: n = 2 Fonte: apri PDF

Ricerca un intero positivo n da due condizioni di condivisione del denaro

Ciascuno di loro ha un gran numero di chili.

Le dice: “Se mi dai 3 sterline, avrò $n$ volte quanto te”.

Lei gli dice: “Se mi dai £$n$, avrò 3 volte più di te”.

Dato che tutte queste affermazioni sono vere e che $n$ è un intero positivo, quali sono i valori possibili per $n$?

Risposta: n = 2 src_bmo_2004-05_round1__Q01

Prove BP bisects angle EBC using perpendicular feet and semicircle

Let $ABC$ be an acute-angled triangle, and let $D$, $E$ be the feet of the perpendiculars from $A$, $B$ to $BC$, $CA$ respectively. Let $P$ be the point where the line $AD$ meets the semicircle constructed outwardly on $BC$. Prove that $BP$ bisects angle $EBC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Prove che la BP divide l’angolo EBC utilizzando piedi e semicircoli perpendicolari

Il $ABC$ sia un triangolo acuto angolato e $D$, $E$ siano i piedi delle perpendicolari da $A$, $B$ a $BC$, $CA$ rispettivamente. $P$ è il punto in cui la linea $AD$ incontra il semicircolo costruito verso l’esterno su $BC$. Provare che $BP$ taglia l’angolo $EBC$.

src_bmo_2004-05_round1__Q02

Least n so any 2-colouring of {1,…,n} has monochromatic x+y+z=w

Determine the least positive integer $n$ such that the following holds:

No matter how the elements of $\{1,2,\dots ,n\}$ are coloured red or blue, there are integers $x$, $y$, $z$, $w$ in $\{1,2,\dots ,n\}$ (not necessarily distinct) of the same colour such that $x+y+z=w$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Colorazione, Casework, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 11 Fonte: apri PDF

Almeno n in modo che qualsiasi 2-colore di {1,…,n} abbia monocromatica x+y+z=w

Determinare il numero intero meno positivo $n$ in modo tale che il seguente sia:

Indipendentemente da come gli elementi di $\{1,2,\dots ,n\}$ siano colorati in rosso o in blu, ci sono enti $x$, $y$, $z$, $w$ in $\{1,2,\dots ,n\}$ (non necessariamente distinti) dello stesso colore, come $x+y+z=w$.

Risposta: 11 src_bmo_2004-05_round1__Q03

Least possible largest term in arithmetic progression of four distinct primes

Determine the least possible value of the largest term in an arithmetic progression of four distinct prime numbers.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Lettura attenta, Riconoscimento di pattern, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 23 Fonte: apri PDF

Il minimo termine possibile più grande nella progressione aritmetica di quattro numeri primi distinti

Determinare il minimo valore possibile del termine più grande in una progressione aritmetica di quattro numeri primi distinti.

Risposta: 23 src_bmo_2004-05_round1__Q04

Prove S contains all rationals in (0,1) given closure properties

Let $S$ be a set of rational numbers with the following properties:

i) $\frac{1}{2}\in S$;

ii) If $x\in S$, then both $\frac{1}{x+1}\in S$ and $\frac{x}{x+1}\in S$.

Prove that $S$ contains all rational numbers in the interval $0<c<1$.

Topic: Insiemi e funzioni, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Ricorsione Abilita: Astrazione, Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

La prova S contiene tutti i razionali in (0,1) con proprietà di chiusura

$S$ sia un insieme di numeri razionali con le seguenti proprietà:

i) $\frac{1}{2}\in S$;

ii) Se $x\in S$, allora sia $\frac{1}{x+1}\in S$ che $\frac{x}{x+1}\in S$.

Provare che $S$ contiene tutti i numeri razionali nell’intervallo $0<c<1$.

src_bmo_2004-05_round1__Q05