British Mathematical Olympiad 2004-05 — Round 2

Show N is a perfect square given exactly 2005 ordered pairs (x,y)

The integer $N$ is positive. There are exactly 2005 ordered pairs $(x,y)$ of positive integers satisfying $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{N}.$ Prove that $N$ is a perfect square.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Mostra N è un quadrato perfetto dato esattamente 2005 coppie ordinate (x,y) *

Il numero intero $N$ è positivo. Esistono esattamente coppie ordinate 2005 $(x,y)$ di integri positivi che soddisfano $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{N}.$ Prove che $N$ è un quadrato perfetto.

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Angle bisectors in 120° triangle; circle on diameter EF passes through D

In triangle $ABC$, $\angle BAC=120^{\circ }$. Let the angle bisectors of angles $A$, $B$ and $C$ meet the opposite sides in $D$, $E$ and $F$ respectively. Prove that the circle on diameter $EF$ passes through $D$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Bissettori angolari in triangolo 120°; il cerchio sul diametro EF passa attraverso D

In triangolo $ABC$, $\angle BAC=120^{\circ }$. I bisettori angolari degli angoli $A$, $B$ e $C$ devono incontrare i lati opposti rispettivamente in $D$, $E$ e $F$. Provare che il cerchio di diametro $EF$ passa attraverso $D$.

src_bmo_2004-05_round2__Q02

Prove inequality for positive reals a, b with a+b=1

Let $a,b$ be positive real numbers with $a+b=1$. Prove that $a^a{b}^b+a^b{b}^a\le 1.$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove la disuguaglianza dei valori reali positivi a, b con a+b=1

$a,b$ siano numeri reali positivi con $a+b=1$. Provare che $a^a{b}^b+a^b{b}^a\le 1.$

src_bmo_2004-05_round2__Q03

3-element subsets of {1,…,36} pairwise intersecting but empty total intersection; show n≤100

Let $X=\{A_1,A_2,\dots ,A_n\}$ be a collection of 3-element subsets of $\{1,2,\dots ,36\}$ such that: (i) $A_i$ and $A_j$ have non-empty intersection for every $i,j$; (ii) The intersection of all sets in $X$ is empty. Show that $n\le 100$. How many such sets $X$ are there when $n=100$?

Topic: Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti, Doppio conteggio, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

3 sottoinsiemi di {1,…,36} che si intersecano in coppia ma che hanno un intersezione totale vuota; mostrare n≤100

Il $X=\{A_1,A_2,\dots ,A_n\}$ deve essere una raccolta di sottoinsiemi di 3 elementi di $\{1,2,\dots ,36\}$ in modo tale che: (i) $A_i$ e $A_j$ abbiano un intersezione non vuota per ogni $i,j$; (ii) l’intersezione di tutti gli insiemi di $X$ sia vuota. Mostra che $n\le 100$. Quante serie $X$ esistono quando $n=100$?

src_bmo_2004-05_round2__Q04