Twin primes around n force divisibility by 720
Let be an integer greater than . Prove that if and are both prime, then is divisible by . Is the converse true?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
Twin primes attorno a n divisibilità della forza per 720
Se è un numero intero maggiore di . Prova che se e sono entrambi primi, allora è divisibile da . È vero il contrario?
Split six pairs of twins into teams with no pair together
Adrian teaches a class of six pairs of twins. He wishes to set up teams for a quiz, but wants to avoid putting any pair of twins into the same team. Subject to this condition:
i) In how many ways can he split them into two teams of six?
ii) In how many ways can he split them into three teams of four?
Topic: Combinatoria Metodo: Casi e conteggio, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Spartire sei coppie di gemelli in squadre senza coppia insieme
Adrian insegna una classe di sei coppie di gemelli. Vuole organizzare squadre per un quiz, ma vuole evitare di mettere due gemelli nella stessa squadra. Subordinazione a questa condizione:
i) In quanti modi può dividerli in due squadre di sei persone?
ii) In quanti modi può dividerli in tre squadre di quattro?
Cyclic quadrilateral diagonal bisects angle, CE=CA iff DE=AB
In the cyclic quadrilateral , the diagonal bisects the angle . The side is extended beyond to a point . Show that if and only if .
Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF
Angolo di bisezione di diagonale quadrilaterale ciclico, CE=CA se DE=AB
Nel quadrilaterale ciclico , la diagonale divide l’angolo . Il lato è esteso oltre fino a un punto . Indicare che se e solo se .
Longest non-repeating cell route in triangulated equilateral triangle
The equilateral triangle has sides of integer length . The triangle is completely divided (by drawing lines parallel to the sides of the triangle) into equilateral triangular cells of side length .
A continuous route is chosen, starting inside the cell with vertex and always crossing from one cell to another through an edge shared by the two cells. No cell is visited more than once. Find, with proof, the greatest number of cells which can be visited.
Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Colorazione, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF
La più lunga rotta cellulare non ripetuta nel triangolo equilaterale triangolato
Il triangolo equilaterale ha lati di lunghezza interi . Il triangolo è completamente diviso (disegnando linee parallele ai lati del triangolo) in celle triangolari equilaterali di lunghezza laterale .
Si sceglie un percorso continuo, che inizia all’interno della cella con vertice e attraversa sempre da una cella all’altra attraverso un bordo condiviso dalle due celle. Nessuna cellula viene visitata più di una volta. Trova, con la prova, il maggior numero di celle che possono essere visitate.
Equal-area bisecting point exists iff quadrilateral is parallelogram
Let be a convex quadrilateral. Show that there is a point in the plane of with the property that every straight line through divides into two regions of equal area if and only if is a parallelogram.
Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF
Esiste un punto di bisezione di superficie uguale se il quadrilaterale è parallelo
Che sia un quadrilaterale convex. Indicare che vi è un punto nel piano di con la proprietà che ogni linea retta attraverso divide in due regioni di superficie uguale se e solo se è un parallelo.
Each point lies inside an even number of triangles
Let be a set of coplanar points with no three collinear. Show that, for any of the points, the number of triangles it lies strictly within, whose vertices are points in , is even.
Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Doppio conteggio, Conteggio, Invarianti Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF
Ogni punto si trova all’interno di un numero pari di triangoli
sia un insieme di punti coplanari senza tre punti collineari. Mostrare che, per uno qualsiasi dei punti , il numero dei triangoli che si trova strettamente all’interno, le cui vertici sono punti in , è pari.