British Mathematical Olympiad 2005-06 — Round 2

Minimize x^2+y^2 under a polynomial constraint

Find the minimum possible value of $x^2+y^2$ given that $x$ and $y$ are real numbers satisfying $xy(x^2-y^2)=x^2+y^2\text{ and }x\ne 0.$

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Trigonometria, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Risposta: 4 Fonte: apri PDF

Minimizzare x^2+y^2 sotto un vincolo polinomial

Trova il valore minimo possibile di $x^2+y^2$ dato che $x$ e $y$ sono numeri reali che soddisfano $xy(x^2-y^2)=x^2+y^2\text{ and }x\ne 0.$

Risposta: 4 src_bmo_2005-06_round2__Q01

Integers with prime factors at most 5 with x^2-y^2=2^k

Let $x$ and $y$ be positive integers with no prime factors larger than 5. Find all such $x$ and $y$ which satisfy $x^2-y^2=2^k$ for some non-negative integer $k$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Casework accurato, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Integra con fattori primi al massimo 5 con x^2-y^2=2 k

Lasciate che $x$ e $y$ siano numeri interi positivi senza fattori primi superiori a 5. Trova tutti i $x$ e $y$ che soddisfano $x^2-y^2=2^k$ per un intero non negativo $k$.

src_bmo_2005-06_round2__Q02

Triangle, points on sides, line meets perpendicular bisector; angle relation

Let $ABC$ be a triangle with $AC>AB$. The point $X$ lies on the side $BA$ extended through $A$, and the point $Y$ lies on the side $CA$ in such a way that $BX=CA$ and $CY=BA$. The line $XY$ meets the perpendicular bisector of side $BC$ at $P$. Show that $\angle BPC+\angle BAC=180^{\circ }.$

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo, punti laterali, linea che incontra il bisettore perpendicolare; rapporto angolare

$ABC$ sia un triangolo con $AC>AB$. Il punto $X$ si trova sul lato $BA$ esteso attraverso $A$, e il punto $Y$ si trova sul lato $CA$ in modo tale che $BX=CA$ e $CY=BA$. La linea $XY$ incontra il bisettore perpendicolare del lato $BC$ a $P$. Indicare che $\angle BPC+\angle BAC=180^{\circ }.$

src_bmo_2005-06_round2__Q03

Exam with 2006 children; minimize total right answers

An exam consisting of six questions is sat by 2006 children. Each question is marked either right or wrong. Any three children have right answers to at least five of the six questions between them. Let $N$ be the total number of right answers achieved by all the children (i.e. the total number of questions solved by child 1 $+$ the total solved by child 2 $+\cdots +$ the total solved by child 2006). Find the least possible value of $N$.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework, Doppio conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 3346 Fonte: apri PDF

Esame con bambini 2006; ridurre al minimo le risposte totali giuste

Un esame composto da sei domande è presentato da bambini del 2006. Ogni domanda è contrassegnata come giusta o sbagliata. Qualsiasi tre bambini abbiano risposte giuste a almeno cinque delle sei domande che si presentano tra loro. Che $N$ sia il numero totale di risposte giuste ottenute da tutti i bambini (cioè il numero totale di domande risolute dal bambino 1 $+$ il totale risolto dal bambino 2 $+\cdots +$ il totale risolto dal bambino 2006). Trova il minimo valore possibile di $N$.

Risposta: 3346 src_bmo_2005-06_round2__Q04