British Mathematical Olympiad 2006-07 — Round 1

Find four primes less than 100 dividing 3^n - 2^n for some n

Find four prime numbers less than 100 which are factors of $3^n-2^n$ for some positive integer $n$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*Ricerca quattro numeri primi inferiori a 100 che dividono 3^n - 2^n per alcune n *

Trova quattro numeri primi inferiori a 100 che sono fattori di $3^n-2^n$ per un intero positivo $n$.

src_bmo_2006-07_round1__Q01

Quadrilateral with trisection points on two sides; prove equal third-areas

In the quadrilateral $ABCD$, points $M$ and $N$ are on side $AB$ such that $AM=MN=NB$, and points $P$ and $Q$ are on side $CD$ such that $CP=PQ=QD$. Prove that $\text{Area of }AMCP=\text{Area of }MNQP=\frac{1}{3}\text{ Area of }ABCD.$

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quadrilaterale con punti di trisezione su due lati; dimostrare pari aree terze

Nel quadrilaterale $ABCD$, i punti $M$ e $N$ sono sul lato $AB$ in modo tale che $AM=MN=NB$, e i punti $P$ e $Q$ sono sul lato $CD$ in modo tale che $CP=PQ=QD$. Provare che $\text{Area of }AMCP=\text{Area of }MNQP=\frac{1}{3}\text{ Area of }ABCD.$

src_bmo_2006-07_round1__Q02

Find the unique 9-digit pandigital number with n-divisibility property

The number $3816547290$ is the only positive integer with ten digits (using each digit exactly once) such that the first $n$ digits form a number divisible by $n$ for each $n=1,2,\dots ,10$.

Find the only 9-digit positive integer (using each of the digits $1$ to $9$ exactly once) such that the first $n$ digits form a number divisible by $n$ for each $n=1,2,\dots ,9$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 381654729 Fonte: apri PDF

Ricerca il numero unico a 9 cifre con proprietà di divisibilità n

Il numero $3816547290$ è l’unico intero positivo con dieci cifre (usando ciascuna cifra esattamente una volta) in modo tale che i primi cifre $n$ formino un numero divisibile da $n$ per ciascuna $n=1,2,\dots ,10$.

Trovare l’unico intero positivo a 9 cifre (usando ciascuno dei cifre $1$ a $9$ esattamente una volta) in modo tale che i primi cifre $n$ formino un numero divisibile da $n$ per ciascuna $n=1,2,\dots ,9$.

Risposta: 381654729 src_bmo_2006-07_round1__Q03

Two tangent circles with common tangent; diameter AP; tangent PQ; prove AP = PQ

Two touching circles $S$ and $T$ have a common tangent which meets $S$ at $A$ and $T$ at $B$. Let $AP$ be a diameter of $S$ and let the tangent from $P$ to $T$ touch it at $Q$. Prove that $AP=PQ$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Due cerchi tangenti con tangente comune; diametro AP; tangente PQ; prova AP = PQ

Due cerchi di tocco $S$ e $T$ hanno una tangente comune che incontra $S$ a $A$ e $T$ a $B$. Lasciate che $AP$ abbia un diametro di $S$ e che la tangente da $P$ a $T$ la tocchi a $Q$. Prova che $AP=PQ$.

src_bmo_2006-07_round1__Q04

Show that if 2 + sqrt(1 + 12a^2) is integer, it is a perfect square

Let $a$ be an integer. Show that if $2+\sqrt{1+12a^2}$ is an integer, then it is a perfect square.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Mostra che se 2 + sqrt(1 + 12a^2) è un intero, è un quadrato perfetto

$a$ sia un numero intero. Mostrare che se $2+\sqrt{1+12a^2}$ è un intero, allora è un quadrato perfetto.

src_bmo_2006-07_round1__Q05