British Mathematical Olympiad 2006-07 — Round 2

Integer-sided triangle, angle bisector meets BC, AB=CD, find AB and BC

Triangle $ABC$ has integer-length sides, and $AC=2007$. The internal bisector of $\angle BAC$ meets $BC$ at $D$. Given that $AB=CD$, determine $AB$ and $BC$.

Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Triangolo a lato intero, bisettore angolare incontra BC, AB=CD, trova AB e BC

Il triangolo $ABC$ ha lati a lunghezza interi e $AC=2007$. Il bisettore interno di $\angle BAC$ incontra $BC$ a $D$. Dato che $AB=CD$, determinare $AB$ e $BC$.

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Show infinitely many positive integer pairs making fraction sum a positive integer

Show that there are infinitely many pairs of positive integers $(m,n)$ such that $\frac{m+1}{n}+\frac{n+1}{m}$ is a positive integer.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Induzione, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Mostra infinitamente molte coppie di numeri interi positivi che rendono la somma delle frazioni un numero intero positivo

Mostrare che ci sono infinite coppie di integri positivi $(m,n)$ in modo tale che $\frac{m+1}{n}+\frac{n+1}{m}$ è un intero positivo.

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Acute triangle, angle BAC=60 degrees, Euler line meets sides, prove PO=HQ

Let $ABC$ be an acute-angled triangle with $AB>AC$ and $\angle BAC=60^{\circ }$. Denote the circumcentre by $O$ and the orthocentre by $H$ and let $OH$ meet $AB$ at $P$ and $AC$ at $Q$. Prove that $PO=HQ$.

Note: The circumcentre of triangle $ABC$ is the centre of the circle which passes through the vertices $A$, $B$ and $C$. The orthocentre is the point of intersection of the perpendiculars from each vertex to the opposite side.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo acuto, angolo BAC=60 gradi, linea di Euler incontra i lati, prova PO=HQ

Il $ABC$ deve essere un triangolo acuto con $AB>AC$ e $\angle BAC=60^{\circ }$. Denotare il circoncentro con $O$ e l’ortocentro con $H$ e far incontrare $OH$ con $AB$ a $P$ e $AC$ a $Q$. Prova che $PO=HQ$.

Nota: il circoncentro del triangolo $ABC$ è il centro del cerchio che attraversa i vertici $A$, $B$ e $C$. L’ortocentro è il punto di intersezione delle perpendicolari da ogni vertice al lato opposto.

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Six-city rail network, count ways to close lines keeping full connectivity

In the land of Hexagonia, the six cities are connected by a rail network such that there is a direct rail line connecting each pair of cities. On Sundays, some lines may be closed for repair. The passengers’ rail charter stipulates that any city must be accessible by rail from any other (not necessarily directly) at all times. In how many different ways can some of the lines be closed subject to this condition?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Inclusione-esclusione, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Rete ferroviaria di sei città, conteggiare le vie di chiusura delle linee mantenendo piena connettività

Nel paese dell’Esagonia, le sei città sono collegate da una rete ferroviaria tale che esiste una linea ferroviaria diretta che collega ciascuna coppia di città. Domenica, alcune linee possono essere chiuse per la riparazione. La carta ferroviaria dei passeggeri stabilisce che ogni città deve essere accessibile in treno da qualsiasi altra città (non necessariamente direttamente) in ogni momento. In quanti modi diversi possono essere chiuse alcune linee a condizione di questa condizione?

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