British Mathematical Olympiad 2007-08 — Round 1

Evaluate a fraction of fourth and second powers

Find the value of $\frac{1^4+2007^4+2008^4}{1^2+2007^2+2008^2}.$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

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Evaluare una frazione delle potenze quarta e seconda

Trova il valore di $\frac{1^4+2007^4+2008^4}{1^2+2007^2+2008^2}.$

src_bmo_2007-08_round1__Q01

Find positive integer solutions of two simultaneous equations

Find all solutions in positive integers $x$, $y$, $z$ to the simultaneous equations $x+y-z=12,$ $x^2+y^2-z^2=12.$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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Ricerca soluzioni a numeri interi positivi di due equazioni simultanee

Trova tutte le soluzioni in numeri interi positivi $x$, $y$, $z$ alle equazioni simultanee $x+y-z=12,$ $x^2+y^2-z^2=12.$

src_bmo_2007-08_round1__Q02

Diameter and perpendiculars in a circle; prove LS = LT

Let $ABC$ be a triangle, with an obtuse angle at $A$. Let $Q$ be a point (other than $A$, $B$ or $C$) on the circle through $A$, $B$ and $C$, on the same side of chord $BC$ as $A$, and let $P$ be the other end of the diameter through $Q$. The perpendiculars from $Q$ to $CA$ and $AB$ meet the line $PA$ at $S$ and $T$ respectively. The foot of the perpendicular from $P$ to the line $BC$ is $L$. Show that $LS=LT$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

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Diametro e perpendicolari in un cerchio; prova LS = LT

$ABC$ sia un triangolo, con un angolo obtuso a $A$. Il $Q$ deve essere un punto (diversi da $A$, $B$ o $C$) sul cerchio attraverso $A$, $B$ e $C$, sullo stesso lato dell’accordo $BC$ come $A$, e il $P$ deve essere l’altra estremità del diametro attraverso $Q$. Le perpendicolari da $Q$ a $CA$ e $AB$ soddisfano rispettivamente la linea $PA$ a $S$ e $T$. Il piede della perpendicolare da $P$ alla linea $BC$ è $L$. Mostra che $LS=LT$.

src_bmo_2007-08_round1__Q03

Show a given integer expression is a perfect square

Let $n$ be an integer. Show that, if $2+2\sqrt{1+12n^2}$ is an integer, then it is a perfect square.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

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Mostra che un’espressione di un dato numero intero è un quadrato perfetto

$n$ sia un numero intero. Mostrare che, se $2+2\sqrt{1+12n^2}$ è un intero, allora è un quadrato perfetto.

src_bmo_2007-08_round1__Q04

Interior point of triangle; prove a sine-ratio equality

Let $P$ be an internal point of triangle $ABC$ and let $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ be defined by $\alpha =\angle BPC-\angle BAC,$ $\beta =\angle CPA-\angle CBA,$ $\gamma =\angle APB-\angle ACB.$ Prove that $PA\cdot \frac{\sin \angle BAC}{\sin \alpha }=PB\cdot \frac{\sin \angle CBA}{\sin \beta }=PC\cdot \frac{\sin \angle ACB}{\sin \gamma }.$

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

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Punto interno del triangolo; dimostrare un’uguaglianza sinusoide

$P$ sia un punto interno del triangolo $ABC$ e $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ siano definiti da $\alpha =\angle BPC-\angle BAC,$ $\beta =\angle CPA-\angle CBA,$ $\gamma =\angle APB-\angle ACB.$ Dimostra che $PA\cdot \frac{\sin \angle BAC}{\sin \alpha }=PB\cdot \frac{\sin \angle CBA}{\sin \beta }=PC\cdot \frac{\sin \angle ACB}{\sin \gamma }.$

src_bmo_2007-08_round1__Q05

Recurrence on positive integers; prove integer values and count solutions to f(n)=2n

The function $f$ is defined on the set of positive integers by $f(1)=1$, $f(2)=2$, and $f(n+1)=(1+(2n+1)f(n))f(n-1)$ for $n\ge 2$.

(i) Prove that $f(n)$ is always an integer. (ii) For how many positive integers less than $2007$ is $f(n)=2n$?

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Induzione, Ricorsione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

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Recurrenza sui numeri interi positivi; prova i valori dei numeri interi e le soluzioni di conteggio a f(n)=2n

La funzione $f$ è definita sull’insieme di integri positivi da $f(1)=1$, $f(2)=2$ e $f(n+1)=(1+(2n+1)f(n))f(n-1)$ per $n\ge 2$.

(i) dimostrare che $f(n)$ è sempre un numero intero. (ii) Per quanti integri positivi $2007$ è $f(n)=2n$?

src_bmo_2007-08_round1__Q06