British Mathematical Olympiad 2007-08 — Round 2

Minimum sum of squares under cubic symmetric constraint

Find the minimum value of $x^2+y^2+z^2$ where $x,y,z$ are real numbers such that $x^3+y^3+z^3-3xyz=1$.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Estremalità, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Minimum somma di quadrati sotto restrizione simmetrica cubica

Trova il valore minimo di $x^2+y^2+z^2$ dove $x,y,z$ sono numeri reali come $x^3+y^3+z^3-3xyz=1$.

src_bmo_2007-08_round2__Q01

Find side ratio of triangle from incentre-circumcentre angles

Let triangle $ABC$ have incentre $I$ and circumcentre $O$. Suppose that $\angle AIO=90^{\circ }$ and $\angle CIO=45^{\circ }$. Find the ratio $AB:BC:CA$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Trovare il rapporto laterale del triangolo dagli angoli incentro-circumcentro

Il triangolo $ABC$ deve avere il centro $I$ e il circoncentro $O$. Supponiamo che $\angle AIO=90^{\circ }$ e $\angle CIO=45^{\circ }$. Trova il rapporto $AB:BC:CA$.

src_bmo_2007-08_round2__Q02

Deduce integer-radius circle in at most sixty inside-point queries

Adrian has drawn a circle in the $xy$-plane whose radius is a positive integer. The origin lies somewhere inside the circle. You are allowed to ask him questions of the form “Is the point $(x,y)$ inside your circle?” After each question he will answer truthfully “yes” or “no”. Show that it is always possible to deduce the radius of the circle after at most sixty questions. [Note: Any point which lies exactly on the circle may be considered to lie inside the circle.]

Topic: Combinatoria, Logica, Geometria analitica Metodo: Casework, Backward Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Ridurre il cerchio di raggio intero in un massimo di sessanta interrogazioni sul punto interno

Adrian ha disegnato un cerchio nel piano $xy$ il cui raggio è un intero positivo. L’origine si trova da qualche parte dentro il cerchio. È consentito fargli domande del tipo “Il punto $(x,y)$ è all’interno del suo cerchio?” Dopo ogni domanda egli risponderà con verità “sì” o “no”. Mostrare che è sempre possibile dedurre il raggio del cerchio dopo almeno sessanta domande. [Nota: ogni punto che si trova esattamente sul cerchio può essere considerato situato all’interno del cerchio.]

src_bmo_2007-08_round2__Q03

Infinitely many distinct integer pairs with a divisibility relation

Prove that there are infinitely many pairs of distinct positive integers $x,y$ such that $x^2+y^2$ is divisible by $x^3+y^2$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Infinitamente molte diverse coppie di numeri interi con una relazione di divisibilità

Prove che ci sono infinite coppie di integri positivi distinti $x,y$ in modo tale che $x^2+y^2$ sia divisibile da $x^3+y^2$.

src_bmo_2007-08_round2__Q04