British Mathematical Olympiad 2008-09 — Round 1

Count zig-zag paths of white squares on 8x8 chessboard

Consider a standard $8\times 8$ chessboard consisting of 64 small squares coloured in the usual pattern, so 32 are black and 32 are white. A zig-zag path across the board is a collection of eight white squares, one in each row, which meet at their corners. How many zig-zag paths are there?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Ricorsione Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare i percorsi zigzag di quadrati bianchi su scacchi 8x8

Si consideri una scacchiera standard $8\times 8$ costituita da 64 piccoli quadrati colorati nel solito modello, quindi 32 in nero e 32 in bianco. Un percorso in zigzag attraverso il bordo è una raccolta di otto quadrati bianchi, uno in ogni riga, che si incontrano negli angoli. Quanti percorsi zigzag ci sono?

src_bmo_2008-09_round1__Q01

Find all real x, y, z satisfying three cyclic product equations

Find all real values of $x$, $y$ and $z$ such that $(x+1)yz=12,(y+1)zx=4\text{and}(z+1)xy=4.$

Topic: Algebra Metodo: Simmetria, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le vere x, y, z che soddisfano tre equazioni di prodotto ciclico

Trova tutti i valori reali di $x$, $y$ e $z$ in modo tale che $(x+1)yz=12,(y+1)zx=4\text{and}(z+1)xy=4.$

src_bmo_2008-09_round1__Q02

Prove PQ = AC iff angle BAC = 60 degrees in parallelogram ABPC

Let $ABPC$ be a parallelogram such that $ABC$ is an acute-angled triangle. The circumcircle of triangle $ABC$ meets the line $CP$ again at $Q$. Prove that $PQ=AC$ if, and only if, $\angle BAC=60^{\circ }$. The circumcircle of a triangle is the circle which passes through its vertices.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Prova PQ = AC se angolo BAC = 60 gradi in parallelo ABPC

Il $ABPC$ deve essere un parallelo tale che $ABC$ sia un triangolo acuto. Il circoncircolo del triangolo $ABC$ incontra di nuovo la linea $CP$ a $Q$. Prove che $PQ=AC$ se, e solo se, $\angle BAC=60^{\circ }$. Il circoncircolo di un triangolo è il cerchio che passa attraverso le sue vertici.

src_bmo_2008-09_round1__Q03

Find positive integers n with n+2008 | n²+2008 and n+2009 | n²+2009

Find all positive integers $n$ such that both $n+2008$ divides $n^2+2008$ and $n+2009$ divides $n^2+2009$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*Trova i numeri interi positivi n con n+2008

Trova tutti gli integri positivi $n$ in modo tale che entrambi $n+2008$ dividano $n^2+2008$ e $n+2009$ dividono $n^2+2009$.

src_bmo_2008-09_round1__Q04

Determine rational periodic sequences satisfying a recurrence

Determine the sequences $a_0,a_1,a_2,\dots$ which satisfy all of the following conditions: a) $a_{n+1}=2a_n^2-1$ for every integer $n\ge 0$, b) $a_0$ is a rational number and c) $a_i=a_j$ for some $i,j$ with $i\ne j$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Invarianti, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Determine le sequenze periodiche razionali che soddisfano una recidiva

Determinare le sequenze $a_0,a_1,a_2,\dots$ che soddisfano tutte le seguenti condizioni: a) $a_{n+1}=2a_n^2-1$ per ogni numero intero $n\ge 0$, b) $a_0$ è un numero razionale e c) $a_i=a_j$ per alcuni $i,j$ con $i\ne j$.

src_bmo_2008-09_round1__Q05

Prove inequality a³cosA + b³cosB + c³cosC < abc for obtuse triangle

The obtuse-angled triangle $ABC$ has sides of length $a$, $b$ and $c$ opposite the angles $\angle A$, $\angle B$ and $\angle C$ respectively. Prove that $a^3\cos A+b^3\cos B+c^3\cos C<abc.$

Topic: Geometria piana, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Trigonometria Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove la disuguaglianza a3cosA + b3cosB + c3cosC < abc per il triangolo obtuso

Il triangolo angolato ottuso $ABC$ ha lati di lunghezza $a$, $b$ e $c$ opposti rispettivamente agli angoli $\angle A$, $\angle B$ e $\angle C$. Provare che $a^3\cos A+b^3\cos B+c^3\cos C<abc.$

src_bmo_2008-09_round1__Q06