British Mathematical Olympiad 2008-09 — Round 2

Find non-negative integer solutions to sum of square roots equals 2009

Find all solutions in non-negative integers $a,b,c$ to $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2009$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca soluzioni integrali non negative per la somma delle radici quadrate uguali a 2009

Trova tutte le soluzioni in numeri interi non negativi $a,b,c$ a $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2009$.

src_bmo_2008-09_round2__Q01

Prove circumcentre of triangle BHC lies on circumcircle of triangle ABC

Let $ABC$ be an acute-angled triangle and let $H$ be the orthocentre of triangle $ABC$. Prove that the centre of the circumcircle of triangle $BHC$ lies on the circumcircle of triangle $ABC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Il cerchio di circumcentro del triangolo BHC si trova sul cerchio del triangolo ABC

Che $ABC$ sia un triangolo acuto e che $H$ sia l’ortocentro del triangolo $ABC$. Prova che il centro del circoncircolo del triangolo $BHC$ si trova sul circoncircolo del triangolo $ABC$.

src_bmo_2008-09_round2__Q02

Find all real functions satisfying a symmetric cubic functional equation

Find all functions $f$ from the real numbers to the real numbers which satisfy $f(x{)}^3+f(y{)}^3+f(z{)}^3=f(x+y+z)(f(x{)}^2+f(y{)}^2+f(z{)}^2-f(x)f(y)-f(y)f(z)-f(z)f(x))$ for all real numbers $x,y,z$.

Topic: Equazioni funzionali, Algebra Metodo: Casework, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le funzioni reali che soddisfano un’equazione funzionale cubica simmetrica

Trova tutte le funzioni $f$ dai numeri reali ai numeri reali che soddisfano $f(x{)}^3+f(y{)}^3+f(z{)}^3=f(x+y+z)(f(x{)}^2+f(y{)}^2+f(z{)}^2-f(x)f(y)-f(y)f(z)-f(z)f(x))$ per tutti i numeri reali $x,y,z$.

src_bmo_2008-09_round2__Q03

Show k(n) le 2009 implies n le 2^20, find equality cases

Given a positive integer $n$, let $k(n)$ denote the number of positive integers whose binary representations occur as blocks of consecutive digits in the binary representation of $n$.

For example, if $n=10$ then the binary representation is $1010$, so $k(10)=10$ (counting all distinct positive integers representable by a contiguous block of digits of $1010$, noting that $0$ does not count as a positive integer).

Show that if $k(n)\le 2009$, then $n\le 2^{20}$, and determine the values of $n$ for which equality holds.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Casework, Induzione Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Il 2009 implica l’esistenza di casi di uguaglianza

Dato un intero positivo $n$, $k(n)$ indica il numero di interi positivi le cui rappresentazioni binarie si verificano come blocchi di cifre consecutive nella rappresentazione binaria di $n$.

Ad esempio, se $n=10$ allora la rappresentazione binaria è $1010$, quindi $k(10)=10$ (conteggiando tutti gli integri positivi distinti rappresentabili da un blocco contiguo di cifre di $1010$, notando che $0$ non conta come un intero positivo).

Indicare che se $k(n)\le 2009$, allora $n\le 2^{20}$, e determinare i valori di $n$ per cui vale l’uguaglianza.

src_bmo_2008-09_round2__Q04