British Mathematical Olympiad 2009-10 — Round 1

Find all integers x, y, z satisfying a quadratic Diophantine equation

Find all integers $x$, $y$ and $z$ such that $x^2+y^2+z^2=x+y+z+2$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Trova tutti gli enti x, y, z che soddisfano un’equazione diofantina quadrata

Trova tutti gli integri $x$, $y$ e $z$ in modo tale che $x^2+y^2+z^2=x+y+z+2$.

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Angle ABC = 90° iff AD = CE; points on circle with perpendicularity conditions

Points $A$, $B$, $C$, $D$ and $E$ lie, in that order, on a circle and the lines $AB$ and $DC$ are produced to meet at $F$. The line through $A$ which is perpendicular to $AB$, the line through $D$ which is perpendicular to $DC$, and the perpendicular bisector of $BC$ are concurrent. Prove that $\angle ABC=90^{\circ }$ if and only if $AD=CE$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

angolo ABC = 90° iff AD = CE; punti su un cerchio con condizioni di perpendicularità

I punti $A$, $B$, $C$, $D$ e $E$ si trovano, in tale ordine, su un cerchio e le linee $AB$ e $DC$ si incontrano a $F$. La linea attraverso $A$ che è perpendicolare a $AB$, la linea attraverso $D$ che è perpendicolare a $DC$ e il bisettore perpendicolare di $BC$ sono simultanei. Prova che $\angle ABC=90^{\circ }$ se e solo se $AD=CE$.

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Count non-increasing sequences of six integer marks from 0–10

Isaac attempts all six questions on an Olympiad paper. He never scores more in a later question than in an earlier question. Each question scores an integer mark from $0$ to $10$. He scores at least $1$ on question 1. How many different possible sequences of six marks can he achieve?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casi e conteggio, Ricorsione Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare le sequenze non in aumento di sei segni interi da 010

Isaac prova tutte e sei le domande su un articolo di Olimpiade. Non punta mai più in una domanda successiva che in una domanda precedente. Ogni domanda ottiene un punteggio intero da $0$ a $10$. Il suo punteggio è di almeno $1$ sulla domanda 1. Quante diverse sequenze possibili di sei segni può ottenere?

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Two internally tangent circles; common tangent and secant; prove BD is diameter

Two circles of different radii touch internally at $A$. A common tangent, not through $A$, touches the inner circle at $C$, and passes through a point $B$ on the outer circle. The line $CA$ is produced to meet the outer circle at $D$. Prove that $BD$ is a diameter of the outer circle.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

*Due cerchi interamente tangenti; tangente comune e secante; dimostrare che BD è diametro *

Due cerchi di radii diversi si toccano internamente a $A$. Un tangente comune, non attraverso $A$, tocca il cerchio interno a $C$ e passa attraverso un punto $B$ sul cerchio esterno. La linea $CA$ è prodotta per incontrare il cerchio esterno a $D$. Provare che $BD$ è un diametro del cerchio esterno.

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Find all real functions satisfying f(f(x)+y)=f(x+y)+xf(y)

Find all functions $f$ defined on the real numbers and taking real values which satisfy the equation $f(f(x)+y)=f(x+y)+xf(y)$ for all real numbers $x$ and $y$.

Topic: Equazioni funzionali, Algebra Metodo: Casework, Backward, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Trova tutte le funzioni reali che soddisfano f(f(x) + y) = f(x+y) + xf(y) *

Trova tutte le funzioni $f$ definite sui numeri reali e prendi valori reali che soddisfano l’equazione $f(f(x)+y)=f(x+y)+xf(y)$ per tutti i numeri reali $x$ e $y$.

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Integer map (x,y)→(x²+y, x−y) with x+y=p²; count distinct treasure locations

Long John Silverman has a map on which the point $P$ has integer coordinates $(x,y)$ with $x>0$, $y>0$, and $x+y=p^2$ for some prime $p$. On the map the point $(x,y)$ is mapped to the point $(x^2+y,x-y)$ where $x>y>0$. He has indicated on the map that the three numbers $x+y$, $x^2+y$, and $x-y$ are all distinct. Find how many different places the treasure may be hidden.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Mapa integrale (x,y) →(x2+y, x−y) con x+y=p2; contare le posizioni dei tesori distinti

Long John Silverman ha una mappa sulla quale il punto $P$ ha coordinate interi $(x,y)$ con $x>0$, $y>0$ e $x+y=p^2$ per alcuni primi $p$. Il punto $(x,y)$ sulla mappa è mappato al punto $(x^2+y,x-y)$, dove $x>y>0$. Ha indicato sulla mappa che i tre numeri $x+y$, $x^2+y$ e $x-y$ sono tutti distinti. Scopri quanti posti diversi il tesoro potrebbe essere nascosto.

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