British Mathematical Olympiad 2009-10 — Round 2

Line up children so each is beside at most two of their friends

There are $2010^{2010}$ children at a mathematics camp. Each has at most three friends at the camp, and $A$ is friends with $B$ if and only if $B$ is friends with $A$. The camp leader would like to line the children up so that every child is next to at most two children between any pair of friends. Is it always possible to do this?

Topic: Combinatoria Metodo: Grafi, Induzione Abilita: Modellizzazione, Astrazione, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

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Alineare i bambini in modo che ciascuno sia accanto al massimo a due dei loro amici

Ci sono bambini in un campo di matematica. Ciascuno ha al massimo tre amici nel campo, e $A$ è amico di $B$ se e solo se $B$ è amico di $A$. Il capo del campo vorrebbe mettere in fila i bambini in modo che ogni bambino sia vicino a un massimo di due bambini tra qualsiasi coppia di amici. E’ sempre possibile farlo?

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Prove angle condition in triangle iff right angle at C

In triangle $ABC$, the centroid is $G$ and $D$ is the midpoint of $CA$. The line through $G$ parallel to $BC$ meets $AB$ at $E$. Prove that $\angle AEC=\angle DGC$ if and only if $\angle ACB=90^{\circ }$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

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Prova la condizione angolare in triangolo se angolo retto a C

Nel triangolo $ABC$, il centroide è $G$ e $D$ è il punto medio di $CA$. La linea attraverso $G$ parallela a $BC$ incontra $AB$ a $E$. Prova che $\angle AEC=\angle DGC$ se e solo se $\angle ACB=90^{\circ }$.

src_bmo_2009-10_round2__Q02

Find integer n such that n^2+4 divides n^3+n

Find all integers $n$ such that $n^2+4$ divides $n^3+n$, and prove that your answer is complete.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

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Trova un intero n tale che n^2+4 divida n^3+n

Trova tutti gli enti $n$ in modo tale che $n^2+4$ divida $n^3+n$, e prova che la tua risposta è completa.

src_bmo_2009-10_round2__Q03

Prove inequality for positive reals x, y, z

Prove that, for all positive real numbers $x$, $y$ and $z$, ${\left(\frac{x+y}{z}\right)}^2+{\left(\frac{y+z}{x}\right)}^2+{\left(\frac{z+x}{y}\right)}^2\ge 3(x+y+z)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-9.$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

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Prove la disuguaglianza dei valori reali positivi x, y, z

Prove che, per tutti i numeri reali positivi $x$, $y$ e $z$, ${\left(\frac{x+y}{z}\right)}^2+{\left(\frac{y+z}{x}\right)}^2+{\left(\frac{z+x}{y}\right)}^2\ge 3(x+y+z)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-9.$

src_bmo_2009-10_round2__Q04