British Mathematical Olympiad 2010-11 — Round 1

Remove one integer from 1..n; average of remaining is 163/4

One number is removed from the set of integers from $1$ to $n$. The average of the remaining numbers is $\frac{163}{4}$. Determine all possible values of the removed number.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Rimuovere un intero da 1..n; media del restante è 163/4

Un numero viene rimosso dall’insieme di numeri interi da $1$ a $n$. La media dei restanti numeri è $\frac{163}{4}$. Determinare tutti i valori possibili del numero rimosso.

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Cube side a with square hole; volume equals surface area numerically

Let $a$ be an integer greater than $1$. A solid cube of side $a$ has a square hole of side $s$ drilled directly through from one face to the opposite face (so the drill removes a cuboid). The volume of the remaining solid is numerically equal to the total surface area of the remaining solid. Determine all possible values of $a$.

Topic: Teoria dei Numeri, Geometria solida Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Fonte: apri PDF

L’insieme di cubo a con buco quadrato; il volume è numericamente uguale all’area superficiale

Se $a$ è un numero intero maggiore di $1$. Un cubo di lato solido $a$ ha un buco quadrato di lato $s$ perforato direttamente da una faccia alla faccia opposta (in questo modo il foraggio rimuove un cuboide). Il volume del solido rimanente è numericamente uguale alla superficie totale del solido rimanente. Determinare tutti i possibili valori di $a$.

src_bmo_2010-11_round1__Q02

Triangle CAB=2CBA; line CA meets perp bisector of BC; prove AB=AC+CM

Let $ABC$ be a triangle with $\angle CAB=2\angle CBA$. Let $N$ be the point where line $CA$ meets the perpendicular bisector of $BC$. Let $M$ be the midpoint of $BC$. Prove that $AB=AC+CM$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo CAB=2CBA; linea CA incontra perp bisector di BC; prova AB=AC+CM

Che $ABC$ sia un triangolo con $\angle CAB=2\angle CBA$. $N$ è il punto in cui la linea $CA$ incontra il bisettore perpendicolare di $BC$. $M$ sia il punto medio di $BC$. Dimostra che $AB=AC+CM$.

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8x8 board, red/white/blue coins; count arrangements with odd red per row and column

Isaac has a large supply of coins, and places one on each square of an $8\times 8$ chessboard. Each coin is either red, white or blue. A colouring is called an arrangement if, in each row and each column, there are an odd number of red coins. Find the number of such arrangements.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework, Invarianti Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

8x8 tabella, monete rosse/bianche/blu; ordini di conteggio con rosso parso per riga e colonna

Isaac ha una grande quantità di monete, e ne mette una su ogni quadrato di una scacchiera $8\times 8$. Ogni moneta è rossa, bianca o blu. Un colore è chiamato un arredamento se, in ogni riga e colonna, ci sono un numero impar di monete rosse. Trova il numero di tali accordi.

src_bmo_2010-11_round1__Q04

Two circles meet at L,M; P on S2; show chord QR in S1 passes through fixed point

Circles $S_1$ and $S_2$ meet at $L$ and $M$. Let $P$ be a point on $S_2$. Let $PL$ and $PM$ meet $S_1$ again at $Q$ and $R$ respectively. Show that, as $P$ varies on $S_2$, the line $QR$ passes through a fixed point.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria, Invarianti Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Riconoscimento di pattern Area: Geometria Fonte: apri PDF

Due cerchi si incontrano a L,M; P su S2; mostra che l’accordo QR in S1 passa attraverso il punto fisso

I cerchi $S_1$ e $S_2$ si incontrano a $L$ e $M$. Let $P$ essere un punto su $S_2$. Lasciate che $PL$ e $PM$ rientrino in $S_1$ rispettivamente a $Q$ e $R$. Indicare che, poiché $P$ varia su $S_2$, la linea $QR$ passa attraverso un punto fisso.

src_bmo_2010-11_round1__Q05

Integers a,b,c with a^2+b^2-c^2=ab-bc-ca; prove triangle with 60 degree angle

Let $a$ and $b$ be positive integers and let $c$ be a positive integer less than $a+b$. Suppose that $a^2+b^2-c^2=ab-bc-ca$. Show that $a$, $b$, $c$ are the sides of a triangle that contains an angle of $60^{\circ }$.

Topic: Algebra, Geometria piana, Trigonometria Metodo: Fattorizzazione, Trigonometria, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri PDF

Integri a,b,c con a^2+b^2-c^2=ab-bc-ca; prova triangolo con angolo di 60 gradi

$a$ e $b$ siano numeri interi positivi e $c$ un numero intero positivo inferiore a $a+b$. Supponiamo che $a^2+b^2-c^2=ab-bc-ca$. Indicare che $a$, $b$, $c$ sono i lati di un triangolo che contiene un angolo di $60^{\circ }$.

src_bmo_2010-11_round1__Q06