British Mathematical Olympiad 2010-11 — Round 2

Show equal angles from interior point using cevian construction

Let $ABC$ be a triangle and $X$ be a point inside the triangle. The lines $AX$, $BX$ and $CX$ meet the opposite sides at $P$, $Q$ and $R$ respectively. Choose a point $U$ on $XP$ which is between $X$ and $P$. The line through $B$ and $U$ meets $XC$ at $V$ and the line through $C$ and $U$ meets $XB$ at $W$. Show that $\angle WXP=\angle VXP$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Mostra angoli uguali dal punto interno utilizzando la costruzione ceviana

Che $ABC$ sia un triangolo e $X$ un punto all’interno del triangolo. Le linee $AX$, $BX$ e $CX$ incontrano i lati opposti rispettivamente a $P$, $Q$ e $R$. Selezionare un punto $U$ su $XP$ che sia tra $X$ e $P$. La linea attraverso $B$ e $U$ incontra $XC$ a $V$ e la linea attraverso $C$ e $U$ incontra $XB$ a $W$. Mostra che $\angle WXP=\angle VXP$.

src_bmo_2010-11_round2__Q01

Count positive integers n < 2011 with f(n) = f(2011)

The function $f$ is defined on the positive integers as follows: $f(2n)=n\text{if }n\text{ is even,}$ $f(2n)=2n\text{if }n\text{ is odd,}$ $f(2n+1)=f(n)\text{if }n\text{ is even,}$ $f(2n+1)=f(n)+1\text{if }n\text{ is odd.}$ Find the number of positive integers $n$ which are less than 2011 and have the property that $f(n)=f(2011)$.

Topic: Teoria dei Numeri, Equazioni funzionali Metodo: Ricorsione, Casework, Conteggio Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Contare i numeri interi positivi n < 2011 con f(n) = f(2011)

La funzione $f$ è definita sui numeri interi positivi come segue: $f(2n)=n\text{if }n\text{ is even,}$ $f(2n)=2n\text{if }n\text{ is odd,}$ $f(2n+1)=f(n)\text{if }n\text{ is even,}$ $f(2n+1)=f(n)+1\text{if }n\text{ is odd.}$ Trova il numero di numeri interi positivi $n$ che sono inferiori al 2011 e hanno la proprietà di $f(n)=f(2011)$.

src_bmo_2010-11_round2__Q02

Find all integers x, y with x+y dividing 2(x^2+y^2)-xy

Find all integers $x$ and $y$ such that $x+y\mid 2(x^2+y^2)-xy.$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutti gli enti x, y con x+y dividendo 2(x^2+y^2)-xy

Trova tutti gli integri $x$ e $y$ in modo tale che $x+y\mid 2(x^2+y^2)-xy.$

src_bmo_2010-11_round2__Q03

Find largest parallelogram-free subset of 2011×2011 integer grid

Let $G$ be the set of points $(x,y)$ in the plane such that $x$ and $y$ are integers in the range $1\le x,y\le 2011$. A subset $S$ of $G$ is said to be parallelogram-free if there is no proper parallelogram with all its vertices in $S$. Determine the largest parallelogram-free subset of $G$. Note: a proper parallelogram is one where the vertices do not all lie on the same line.

Topic: Combinatoria, Geometria analitica Metodo: Estremalità, Doppio conteggio, Conteggio Abilita: Astrazione, Conteggio sistematico, Modellizzazione, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Ricerca il più grande sottogruppo senza parallelogrammi del 2011×2011 griglia integrale

Il $G$ deve essere l’insieme dei punti $(x,y)$ nel piano in modo tale che $x$ e $y$ siano integri nell’intervallo $1\le x,y\le 2011$. Un sottogruppo $S$ di $G$ è considerato privo di parallelogrammi se non esiste un parallelo corretto con tutti i suoi vertici in $S$. Determinare il più grande sottoinsieme senza parallelogrammi di $G$. Nota: un parallelo corretto è quello in cui non tutti i vertici si trovano sulla stessa linea.

src_bmo_2010-11_round2__Q04