British Mathematical Olympiad 2011-12 — Round 1

Find all integers n such that n^2+20n+11 is a perfect square

Find all (positive or negative) integers $n$ for which $n^2+20n+11$ is a perfect square. Remember that you must justify that you have found them all.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Trova tutti gli enti n in modo tale che n^2+20n+11 sia un quadrato perfetto

Trova tutti gli integri $n$ (positivi o negativi) per i quali $n^2+20n+11$ è un quadrato perfetto. Ricorda che devi giustificare di averli trovati tutti.

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Largest t so that 1,2,…,k can be arranged with adjacent divisibility

Consider the numbers $1,2,\dots ,k$. Find, in terms of $n$, the largest integer $t$ such that these numbers can be arranged in a row so that all adjacent numbers divide each other.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Induzione, Estremalità Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

T più grande in modo che 1,2,…,k possa essere disposta con divisibilità adiacente

Considerate i numeri $1,2,\dots ,k$. Trova, in termini di $n$, il più grande intero $t$ in modo tale che questi numeri possano essere disposti in una riga in modo che tutti i numeri adiacenti si dividano tra loro.

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Intersection of two circles through P tangent to S is fixed

Consider a circle $S$. The point $P$ lies outside $S$ and a line is drawn through $P$, cutting $S$ at distinct points $X$ and $Y$. Circles $S_1$ and $S_2$ are drawn through $P$ which are tangent to $S$ at $X$ and $Y$ respectively. Show that the intersection (other than $P$) of $S_1$ and $S_2$ is independent of the positions of $P$, $X$ and $Y$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

L’intersezione di due cerchi attraverso la tangente P a S è fissa

Considera un cerchio $S$. Il punto $P$ si trova al di fuori di $S$ e una linea è tracciata attraverso $P$, tagliando $S$ in punti distinti $X$ e $Y$. I cerchi $S_1$ e $S_2$ sono tracciati attraverso $P$ che sono tangenti a $S$ rispettivamente a $X$ e $Y$. Indicare che l’intersezione (diversi da $P$) di $S_1$ e $S_2$ è indipendente dalle posizioni di $P$, $X$ e $Y$.

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Bags with balls: decide if all n can be emptied with triple-and-subtract ops

Initially there is one bag containing $n$ balls, where $n>1$, and a second empty bag. You may perform the following two operations:

a) Remove an equal number of balls from each bag (so the total decreases). b) Double the number of balls in one bag.

Operation b) is now replaced with: b’) Triple the number of balls in one bag.

Is it now always possible to empty both bags after a finite sequence of operations using only operations a) and b’?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Invarianti, Casework Abilita: Astrazione, Modellizzazione, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Bags con palle: decidere se tutte le n possono essere svuotate con operazioni di triplice e sottrazione

Inizialmente c’è un sacchetto contenente palle $n$, dove $n>1$, e un secondo sacchetto vuoto. È possibile eseguire le seguenti due operazioni:

a) Rimuovere un numero uguale di palle da ciascuna borsa (in modo che il totale diminuisca). b) raddoppiare il numero di palle in una borsa.

L’operazione b) è ora sostituita da: b) Triplico il numero di palle in un sacchetto.

È ora sempre possibile svuotare entrambe le sacche dopo una sequenza finita di operazioni utilizzando solo le operazioni a) e b)?

src_bmo_2011-12_round1__Q04

Product of four consecutive positive integers is never a perfect square

Prove that the product of four consecutive positive integers cannot be a perfect square.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Il prodotto di quattro numeri interi positivi consecutivi non è mai un quadrato perfetto

Prova che il prodotto di quattro numeri interi positivi consecutivi non può essere un quadrato perfetto.

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In acute triangle, foot of altitude D, foot from D to EF lies on median

Let $ABC$ be an acute-angled triangle. The foot of the altitude from $A$ to $BC$ is $D$. The foot of the altitude from $B$ to $AC$ is $E$. The foot of the altitude from $C$ to $AB$ is $F$. The point $P$ is the foot of the perpendicular from $D$ to $EF$. Show that $AP$ bisects $BC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

In un triangolo acuto, piede di altitudine D, piede da D a EF si trova sulla media

Che il $ABC$ sia un triangolo acuto. Il piede dell’altitudine da $A$ a $BC$ è $D$. Il piede dell’altitudine da $B$ a $AC$ è $E$. Il piede dell’altitudine da $C$ a $AB$ è $F$. Il punto $P$ è il piede della perpendicolare da $D$ a $EF$. Indicare che $AP$ bisecta $BC$.

src_bmo_2011-12_round1__Q06