British Mathematical Olympiad 2011-12 — Round 2

Cyclic quadrilateral midpoints give four triangles with equal circumradii

The diagonals $AC$ and $BD$ of a cyclic quadrilateral meet at $E$. The midpoints of the sides $AB$, $BC$, $CD$ and $DA$ are $P$, $Q$, $R$ and $S$ respectively. Prove that the circumradii of triangles $EPQ$, $EQR$, $ERS$ and $ESP$ are all equal.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

I punti medi quadrilaterali ciclici danno quattro triangoli con circumradii uguali

Le diagonali $AC$ e $BD$ di un quadrilaterale ciclico si incontrano a $E$. I punti intermedi dei lati $AB$, $BC$, $CD$ e $DA$ sono rispettivamente $P$, $Q$, $R$ e $S$. Provare che le circondazioni dei triangoli $EPQ$, $EQR$, $ERS$ e $ESP$ sono tutte uguali.

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Recursive function on positive integers: prove f(n)=n infinitely often

A function $f$ is defined on the positive integers by $f(1)=1$ and, for $n>1$, $f(n)=f\left(\lfloor \frac{n}{2}\rfloor \right)+f\left(\lceil \frac{n}{2}\rceil \right),$ where $\lfloor x\rfloor$ denotes the greatest integer less than or equal to $x$. Prove that $f(n)=n$ for infinitely many $n\ge 1$.

[Here are examples of the use of $\lfloor x\rfloor$: $\lfloor 3.729\rfloor =3$; $\lfloor 1729\rfloor =1729$]

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Induzione, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Funzione ricursiva su numeri interi positivi: dimostrare f(n) = n infinitamente spesso

Una funzione $f$ è definita sui numeri interi positivi da $f(1)=1$ e, per $n>1$, da $f(n)=f\left(\lfloor \frac{n}{2}\rfloor \right)+f\left(\lceil \frac{n}{2}\rceil \right),$ dove $\lfloor x\rfloor$ indica il numero intero più grande inferiore o uguale a $x$. Prova che $f(n)=n$ per infinite $n\ge 1$.

[Questi sono esempi di utilizzo di $\lfloor x\rfloor$: $\lfloor 3.729\rfloor =3$; $\lfloor 1729\rfloor =1729$]

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Reals split into two subsets: find close elements in same subset

The set of real numbers is split into two non-empty subsets. Prove that for each pair $(m,n)$ of positive integers, there are $x<y$ in the same subset such that $m(y-x)<n$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità, Principio dei cassetti Abilita: Astrazione, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Reals suddivisi in due sottogruppi: trovare elementi vicini nello stesso sottogruppo

L’insieme dei numeri reali è diviso in due sottinsiemi non vuoti. Prova che per ogni coppia $(m,n)$ di integri positivi, ci sono $x<y$ nello stesso sottoinsieme in modo tale che $m(y-x)<n$.

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Integers a,b,c,d: divisibility condition for all positive n

Show that if $a$, $b$, $c$, $d$ are integers and $a$ is a divisor of $b^n+c^n+d^n-b-c-d$ for all positive integers $n$, then $a$ divides $b+c+d$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Integri a,b,c,d: condizione di divisibilità per tutti i n * positivi

Mostrare che se $a$, $b$, $c$, $d$ sono interi e $a$ è un divisore di $b^n+c^n+d^n-b-c-d$ per tutti gli interi positivi $n$, allora $a$ divide $b+c+d$.

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