Max counters on chessboard avoiding five in any line
Isaac places some counters onto the squares of an by chessboard so that there is at most one counter in each of the squares. Determine, with justification, the maximum number that he can place without having five or more counters in the same row, or in the same column, or on either of the two long diagonals.
Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Max contatori su scacchi evitando cinque in ogni riga
Isaac colloca alcuni contatori sui quadrati di un da una scacchiera in modo che ci sia al massimo un contatore in ciascuno dei quadrati . Determinare, con giustificazione, il numero massimo che può inserire senza avere cinque o più contatori nella stessa riga, nella stessa colonna o su una delle due lunghe diagonali.
Two touching circles, common tangent, diameter; prove collinearity
Two circles and touch at . They have a common tangent which meets at and at . The points and are different. Let be a diameter of . Prove that , and lie on a straight line.
Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF
Due cerchi in contatto, tangente comune, diametro; dimostrare collinearità
Due cerchi e si toccano a . Hanno una tangente comune che incontra a e a . I punti e sono diversi. Il diametro di deve essere di . Provare che , e si trovano su una linea retta.
Find reals satisfying three simultaneous quadratic equations
Find all real numbers , and which satisfy the simultaneous equations , and .
Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: x=1,\ y=2,\ z=3 Fonte: apri PDF
Trova reali che soddisfano tre equazioni quadratiche simultanee
Trova tutti i numeri reali , e che soddisfano le equazioni simultanee , e .
Risposta: x=1,\ y=2,\ z=3 src_bmo_2012-13_round1__Q03
Find positive integers n with 12n-119 and 75n-539 perfect squares
Find all positive integers such that and are both perfect squares.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
Trova i numeri interi positivi n con quadrati perfetti 12n-119 e 75n-539
Trova tutti gli integri positivi in modo che e siano entrambi quadrati perfetti.
Triangle with sides at most 2, 3, 4; maximum area
A triangle has sides of length at most , and respectively. Determine, with proof, the maximum possible area of the triangle.
Topic: Geometria piana, Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico, Stima Area: Geometria, Algebra e Analisi Risposta: 3 Fonte: apri PDF
Triangolo con lati non più di 2, 3, 4; superficie massima
Un triangolo ha lati di lunghezza massima , e rispettivamente. Determinare, con prova, l’area massima possibile del triangolo.
Risposta: 3 src_bmo_2012-13_round1__Q05
Two tangent circles in triangle; D is midpoint of AE
Let be a triangle. Let be the circle through tangent to at and let be the circle through tangent to at . The circles and intersect at and . Let be the point where the line meets the circle . Prove that is the midpoint of .
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF
Due cerchi tangenti in triangolo; D è il punto medio di AE
Lasciate che sia un triangolo. Il circolo attraverso sia tangente a a a e il circolo attraverso sia tangente a a . I cerchi e si intersecano a e . è il punto in cui la linea incontra il cerchio . Provare che è il punto medio di .