British Mathematical Olympiad 2012-13 — Round 2

Infinitely many pairs (m,n) with m|n²+1 and n|m²+1?

Are there infinitely many pairs of positive integers $(m,n)$ such that both $m$ divides $n^2+1$ and $n$ divides $m^2+1$?

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Fattorizzazione, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Infinitamente molte coppie (m,n) con m

Esistono infinite coppie di integri positivi $(m,n)$ in modo tale che sia $m$ divida $n^2+1$ che $n$ divida $m^2+1$?

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Prove angle QAB = angle CAP given PBQC parallelogram and equal angles

The point $P$ lies inside triangle $ABC$ so that $\angle ABP=\angle PCA$. The point $Q$ is such that $PBQC$ is a parallelogram. Prove that $\angle QAB=\angle CAP$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Prove angle QAB = angle CAP data PBQC parallelogramma e angoli uguali

Il punto $P$ si trova all’interno del triangolo $ABC$ in modo che $\angle ABP=\angle PCA$. Il punto $Q$ è tale che $PBQC$ sia un parallelo. Prove che $\angle QAB=\angle CAP$.

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Prove n+s has more 0s than 1s in binary, for 2013-digit integers with more 0s

Consider the set of positive integers which, when written in binary, have exactly $2013$ digits and more $0$s than $1$s. Let $n$ be the number of such integers and let $s$ be their sum. Prove that, when written in binary, $n+s$ has more $0$s than $1$s.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Doppio conteggio, Simmetria, Induzione Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Prove n+s ha più 0s di 1s in binario, per i numeri interi a 2013 con più 0s

Considerate l’insieme di interi positivi che, quando scritti in binario, hanno esattamente $2013$ cifre e più $0$s di $1$s. $n$ sia il numero di tali integri e $s$ sia la loro somma. Prova che, quando scritto in binario, $n+s$ ha più $0$s di $1$s.

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Can PA, PB, PC, PD and AB all be integers for P on inscribed circle of square ABCD?

Suppose that $ABCD$ is a square and that $P$ is a point which is on the circle inscribed in the square. Determine whether or not it is possible that $PA$, $PB$, $PC$, $PD$ and $AB$ are all integers.

Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: Coordinate, Fattorizzazione, Congruenze, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Possono PA, PB, PC, PD e AB essere tutti integri per P sul cerchio di ABCD quadrato?

Supponiamo che $ABCD$ sia un quadrato e che $P$ sia un punto che si trova sul cerchio inserito nel quadrato. Determinare se è possibile che $PA$, $PB$, $PC$, $PD$ e $AB$ siano tutti numeri interi.

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