British Mathematical Olympiad 2013-14 — Round 1

Calculate value of ratio of consecutive power sums

Calculate the value of $\frac{2014^2+4\times 2013^2+2012^2}{2013^2+4\times 2012^2+2011^2}÷\frac{2013^2+4\times 2012^2+2011^2}{2012^2+4\times 2011^2+2010^2}.$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1 Fonte: apri PDF

Calcolare il valore del rapporto delle somme di potenze consecutive

Calcolare il valore di $\frac{2014^2+4\times 2013^2+2012^2}{2013^2+4\times 2012^2+2011^2}÷\frac{2013^2+4\times 2012^2+2011^2}{2012^2+4\times 2011^2+2010^2}.$

Risposta: 1 src_bmo_2013-14_round1__Q01

Find angle CDE in triangle with two altitudes

In triangle $ABC$, $D$ is the foot of the perpendicular from $A$ to $BC$, and $E$ is the foot of the perpendicular from $B$ to $AC$. The angle $\angle ABC=40^{\circ }$. What is the angle $\angle CDE$?

Topic: Geometria piana Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Risposta: 40 Fonte: apri PDF

Trova l’angolo CDE in triangolo con due altitudini

Nel triangolo $ABC$, $D$ è il piede della perpendicolare da $A$ a $BC$, e $E$ è il piede della perpendicolare da $B$ a $AC$. L’angolo $\angle ABC=40^{\circ }$. Qual è l’angolo $\angle CDE$?

Risposta: 40 src_bmo_2013-14_round1__Q02

Highest power of 3 dividing a number written with digit 3^2013

A number is written in base $3^{2013}$ using only the digit $3^{2013}$. No other digit appears. Find the highest power of $3$ which divides this number.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Poverità massima di 3 dividendo un numero scritto con la cifra 3^2013

Un numero è scritto in base $3^{2013}$ utilizzando solo la cifra $3^{2013}$. Nessun altro numero appare. Trova la potenza più alta di $3$ che divide questo numero.

src_bmo_2013-14_round1__Q03

Count 5-day holiday plans with activity constraints

Isaac is planning a five-day holiday. On each of the five days he plans to do just one of the following: go surfing, go sailing, or go cycling. He wants to go surfing on at least one day. He wants to go sailing on at least one day. Moreover, he does not want to go cycling on two consecutive days. In how many ways can he plan his holiday?

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio, Ricorsione Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare i piani di vacanza di 5 giorni con limitazioni di attività

Isaac sta pianificando una vacanza di cinque giorni. In ciascuno dei cinque giorni ha intenzione di fare solo una delle seguenti cose: andare a fare surf, andare a vela o andare in bicicletta. Vuole andare a fare surf almeno un giorno. Vuole andare a vela almeno un giorno. Inoltre, non vuole andare in bicicletta per due giorni consecutivi. In quanti modi può pianificare le sue vacanze?

src_bmo_2013-14_round1__Q04

Equilateral triangle with interior point; prove two identities/inequalities

Let $ABC$ be an equilateral triangle, and let $P$ be a point inside this triangle. Let $D$, $E$ and $F$ be the feet of the perpendiculars from $P$ to the sides $BC$, $CA$ and $AB$ respectively. Prove that a) $AP+BP+CP=AD+BE+CF$, b) $AP+BD+CE\ge BP+CD+AE$.

Topic: Geometria piana, Disuguaglianze Metodo: Trigonometria, Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Triangolo equilaterale con punto interno; dimostrare due identità/inequità

Che $ABC$ sia un triangolo equilaterale, e che $P$ sia un punto all’interno di questo triangolo. I piedi delle perpendicolari da $P$ ai lati $BC$, $CA$ e $AB$ siano rispettivamente $D$, $E$ e $F$. Provare che a) $AP+BP+CP=AD+BE+CF$, b) $AP+BD+CE\ge BP+CD+AE$.

src_bmo_2013-14_round1__Q05

Prove weighted angle average lies between 60 and largest angle

The angles $A$, $B$ and $C$ of a triangle are measured in degrees, and $A$, $B$ and $C$ are positive integers with $A+B+C=180$. The lengths of the opposite sides are $a$, $b$ and $c$ respectively. Prove that $60\le \frac{aA+bB+cC}{a+b+c}\le C$ where $C$ is the largest angle and $c$ is the corresponding longest side.

Topic: Geometria piana, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Stima Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

La media ponderata dell’angolo di prova si trova tra 60 e l’angolo più grande

Gli angoli $A$, $B$ e $C$ di un triangolo sono misurati in gradi, e $A$, $B$ e $C$ sono interi positivi con $A+B+C=180$. Le lunghezze dei lati opposti sono rispettivamente $a$, $b$ e $c$. Prova che $60\le \frac{aA+bB+cC}{a+b+c}\le C$ dove $C$ è l’angolo più grande e $c$ è il lato più lungo corrispondente.

src_bmo_2013-14_round1__Q06