British Mathematical Olympiad 2013-14 — Round 2

Minimum colours to colour diagonals of 2014-gon so crossing diagonals differ

Every diagonal of a regular polygon with $2014$ sides is coloured in one of $n$ colours. Whenever two diagonals cross in the interior, they are of different colours. What is the minimum value of $n$ for which this is possible?

Topic: Combinatoria Metodo: Colorazione, Grafi, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Minimum di colori per le diagonali di colore del 2014-gon in modo che le diagonali di incrocio differiscano

Ogni diagonale di un poligono regolare con lati $2014$ è colorata in uno dei colori $n$. Ogni volta che due diagonali si incrociano all’interno, sono di colori diversi. Qual è il valore minimo di $n$ per il quale questo è possibile?

src_bmo_2013-14_round2__Q01

Prove no cuboid has volume, surface area and perimeter numerically equal

Prove that it is impossible to have a cuboid for which the volume, the surface area and the perimeter are numerically equal.

The perimeter of a cuboid is the sum of the lengths of all its twelve edges.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove che nessun cuboide ha volume, superficie e perimetro numericamente uguali

Prove che è impossibile avere un cuboide per il quale il volume, la superficie e il perimetro sono numericamente uguali.

Il perimetro di un cuboide è la somma delle lunghezze di tutti i suoi dodici bordi.

src_bmo_2013-14_round2__Q02

Sequence a_1=3, a_{n+1}=a_n^2+a_n-1; prove infinitely many prime divisors

Define a sequence $(a_n)$ by $a_1=3$ and $a_{n+1}=a_n^2+a_n-1$ for $n\ge 1$.

a) Prove that there are infinitely many prime numbers which divide at least one term of the sequence.

b) Prove that there are infinitely many prime numbers which divide no term of the sequence.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Induzione, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Sequenza a_1=3, a_{n+1}=a_n^2+a_n-1; dimostrare infiniti prime divisori

Definire una sequenza $(a_n)$ per $a_1=3$ e $a_{n+1}=a_n^2+a_n-1$ per $n\ge 1$.

a) dimostrare che ci sono infiniti numeri primi che dividono almeno un termine della sequenza.

b) dimostrare che ci sono infinitamente molti numeri primi che non dividono alcun termine della sequenza.

src_bmo_2013-14_round2__Q03

Triangle with interior point; circumcentres of sub-triangles meet on three concurrent lines

Let $ABC$ be a triangle and $P$ be a point in its interior. Let $AP$ meet the circumcircle of $ABC$ at $A^{\prime }$. The points $B^{\prime }$ and $C^{\prime }$ are similarly defined.

Let $O_A$ be the circumcentre of triangle $BCP$. The circumcentres $O_B$ and $O_C$ are similarly defined.

Let $O_{A^{\prime }}$ be the circumcentre of triangle $B^{\prime }{C}^{\prime }P$. The circumcentres $O_{B^{\prime }}$ and $O_{C^{\prime }}$ are similarly defined.

Prove that the lines $O_A{O}_{A^{\prime }}$, $O_B{O}_{B^{\prime }}$ and $O_C{O}_{C^{\prime }}$ are concurrent.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo con punto interno; circoncenti di subtriangoli si incontrano su tre linee simultanee

Che $ABC$ sia un triangolo e $P$ un punto nel suo interno. Si deve far incontrare $AP$ il circoncircolo di $ABC$ a $A^{\prime }$. I punti $B^{\prime }$ e $C^{\prime }$ sono definiti in modo simile.

$O_A$ sia il circoncentro del triangolo $BCP$. Le circoncentri $O_B$ e $O_C$ sono definite in modo simile.

$O_{A^{\prime }}$ sia il circoncentro del triangolo $B^{\prime }{C}^{\prime }P$. Le circoncentri $O_{B^{\prime }}$ e $O_{C^{\prime }}$ sono definite in modo simile.

Prove che le linee $O_A{O}_{A^{\prime }}$, $O_B{O}_{B^{\prime }}$ e $O_C{O}_{C^{\prime }}$ sono simultanee.

src_bmo_2013-14_round2__Q04