British Mathematical Olympiad 2014-15 — Round 1

Order five tower-exponential numbers by size

Place the following numbers in increasing order of size, and justify your reasoning: $3^{3^4},3^{4^3},3^{4^4},4^{3^3}\text{and}{4}^{3^4}.$ Note that $a^{b^c}$ means $a^{(b^c)}$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Disuguaglianze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ordina cinque numeri esponenziali della torre per dimensione

In ordine crescente di dimensioni, inserire i seguenti numeri e giustificare il ragionamento: $3^{3^4},3^{4^3},3^{4^4},4^{3^3}\text{and}{4}^{3^4}.$ Nota che $a^{b^c}$ significa $a^{(b^c)}$.

src_bmo_2014-15_round1__Q01

Pythagorean triple with prime; prove divisibility and perfect square

Positive integers $p$, $a$ and $b$ satisfy the equation $p^2+a^2=b^2$. Prove that if $p$ is a prime greater than $3$, then $a$ is a multiple of $12$ and $2(p+a+1)$ is a perfect square.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Triplice di Pitagora con primo; dimostra divisibilità e quadrato perfetto

Gli integri positivi $p$, $a$ e $b$ soddisfano l’equazione $p^2+a^2=b^2$. Prova che se $p$ è un primo maggiore di $3$, allora $a$ è un multiple di $12$ e $2(p+a+1)$ è un quadrato perfetto.

src_bmo_2014-15_round1__Q02

Count ways to book 7 rooms in hotel corridor with no two adjacent same-side

A hotel has ten rooms along each side of a corridor. An olympiad team leader wishes to book seven rooms on the corridor so that no two reserved rooms on the same side of the corridor are adjacent. In how many ways can this be done?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework, Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare le modalità per prenotare 7 camere nel corridoio dell’hotel senza due camere adiacenti sullo stesso lato

Un hotel ha dieci camere lungo ogni lato di un corridoio. Un leader di squadra olimpica desidera prenotare sette stanze sul corridoio in modo che non siano adiacenti due stanze riservate sullo stesso lato del corridoio. In quanti modi si può farlo?

src_bmo_2014-15_round1__Q03

Prove t_n = x^n + x^{-n} is integer; find n where t divides t_n

Let $x$ be a real number such that $t=x+x^{-1}$ is an integer greater than $2$. Prove that $t_n=x^n+x^{-n}$ is an integer for all positive integers $n$. Determine the values of $n$ for which $t$ divides $t_n$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Induzione, Ricorsione, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove t_n = x^n + x^{-n} è un intero; trova n dove t divide t_n

$x$ sia un numero reale tale che $t=x+x^{-1}$ sia un numero intero maggiore di $2$. Prove che $t_n=x^n+x^{-n}$ è un intero per tutti i numeri interi positivi $n$. Determinare i valori di $n$ per i quali $t$ divide $t_n$.

src_bmo_2014-15_round1__Q04

Cyclic quadrilateral ABCD; prove PQ parallel to AB

Let $ABCD$ be a cyclic quadrilateral. Let $F$ be the midpoint of the arc $AB$ of its circumcircle which does not contain $C$ or $D$. Let the lines $DF$ and $AC$ meet at $P$ and the lines $CF$ and $BD$ meet at $Q$. Prove that the lines $PQ$ and $AB$ are parallel.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

ABCD quadrilaterale ciclico; dimostrare PQ parallelo ad AB

Che il $ABCD$ sia un quadrilaterale ciclico. Il $F$ deve essere il punto medio dell’arco $AB$ del suo circoncircolo che non contiene $C$ o $D$. Lasciate che le linee $DF$ e $AC$ si incontrino a $P$ e le linee $CF$ e $BD$ si incontrino a $Q$. Prove che le linee $PQ$ e $AB$ sono parallele.

src_bmo_2014-15_round1__Q05

Find all functions preserving the Egyptian fraction equation 1/a+1/b=1/c

Determine all functions $f(n)$ from the positive integers to the positive integers which satisfy the following condition: whenever $a$, $b$ and $c$ are positive integers such that $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$, then $\frac{1}{f(a)}+\frac{1}{f(b)}=\frac{1}{f(c)}.$

Topic: Equazioni funzionali, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le funzioni che preservano l’equazione di frazione egiziana 1/a+1/b=1/c

Determinare tutte le funzioni $f(n)$ dai numeri interi positivi ai numeri interi positivi che soddisfano la seguente condizione: quando $a$, $b$ e $c$ sono numeri interi positivi come $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$, allora $\frac{1}{f(a)}+\frac{1}{f(b)}=\frac{1}{f(c)}.$

src_bmo_2014-15_round1__Q06