British Mathematical Olympiad 2014-15 — Round 2

Find 2015th term of recursively defined sequence starting at 2014.

The first term $x_1$ of a sequence is $2014$. Each subsequent term of the sequence is defined in terms of the previous term. The iterative formula is $x_{n+1}=\frac{(\sqrt{2}+1)x_n-1}{(\sqrt{2}+1)+x_n}.$ Find the $2015$th term $x_{2015}$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, skill_riconoscimento_pattern Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Trova il 2015° termine di sequenza definita ricorrentemente a partire dal 2014.

Il primo termine $x_1$ di una sequenza è $2014$. Ogni termine successivo della sequenza è definito in termini di termine precedente. La formula iterativa è $x_{n+1}=\frac{(\sqrt{2}+1)x_n-1}{(\sqrt{2}+1)+x_n}.$ Trova il $2015$th termine $x_{2015}$.

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Prove equivalence: more odd-boy councils iff odd classes have more boys.

In Oddesdon Primary School there are an odd number of classes. Each class contains an odd number of pupils. One pupil from each class will be chosen to form the school council. Prove that the following two statements are logically equivalent.

a) There are more ways to form a school council which includes an odd number of boys than ways to form a school council which includes an odd number of girls.

b) There are an odd number of classes which contain more boys than girls.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Doppio conteggio, Induzione, Invarianti Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Prova l’equivalenza: più consigli per ragazzi strani se le classi uniche hanno più ragazzi.

Nella scuola primaria di Oddesdon ci sono un numero strano di lezioni. Ogni classe contiene un numero impar di allievi. Un allievo da ogni classe sarà scelto per formare il consiglio scolastico. Prove che le seguenti due affermazioni sono logicamente equivalenti.

a) Esistono più modi per formare un consiglio scolastico che comprende un numero impar di ragazzi che di formare un consiglio scolastico che comprende un numero impar di ragazze.

b) Esistono un numero strano di classi che contengono più ragazzi che ragazze.

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Locus of incentre of triangle AQP as PQ varies is a circle through A.

Two circles touch one another internally at $A$. A variable chord $PQ$ of the outer circle touches the inner circle. Prove that the locus of the incentre of triangle $AQP$ is another circle touching the given circles at $A$.

The incentre of a triangle is the centre of the unique circle which is inside the triangle and touches all three sides. A locus is the collection of all points which satisfy a given condition.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Locus del centro del triangolo AQP come PQ varia è un cerchio attraverso A.

Due cerchi si toccano internamente a $A$. Un accordo variabile $PQ$ del cerchio esterno tocca il cerchio interno. Prove che il locus dell’incentro del triangolo $AQP$ è un altro cerchio che tocca i circoli dati a $A$.

L’incentro di un triangolo è il centro del cerchio unico che si trova all’interno del triangolo e tocca tutti e tre i lati. Un locus è la raccolta di tutti i punti che soddisfano una determinata condizione.

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Determine whether a 100-loop of integer-coordinate points exists.

Given two points $P$ and $Q$ with integer coordinates, we say that $P$ \emph{sees} $Q$ if the line segment $PQ$ contains no other points with integer coordinates. An $n$-loop is a sequence of $n$ points $P_1,P_2,\dots ,P_n$, each with integer coordinates, such that the following conditions hold:

a) $P_i$ sees $P_{i+1}$ for $1\le i\le n-1$, and $P_n$ sees $P_1$;

b) No $P_i$ sees any $P_j$ apart from those mentioned in (a);

c) No three of the points lie on the same straight line.

Does there exist a $100$-loop?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, method_casework, Casework, Invarianti Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Determine se esiste un ciclo di 100 punti di coordinate interi.

Dati due punti $P$ e $Q$ con coordinate interi, diciamo che $P$ \emph{sees} $Q$ se il segmento di linea $PQ$ non contiene altri punti con coordinate interi. Un ciclo $n$ è una sequenza di punti $n$ $P_1,P_2,\dots ,P_n$, ciascuno con coordinate interi, in modo tale che siano soddisfatte le seguenti condizioni:

a) $P_i$ vede $P_{i+1}$ per $1\le i\le n-1$ e $P_n$ $P_1$;

b) Non $P_i$ comprende $P_j$ tranne quelli di cui alla lettera a);

c) Non tre dei punti si trovano sulla stessa linea retta.

Esiste un ciclo $100$?

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