British Mathematical Olympiad 2015-16 — Round 1

Anna buys books and shelves; count dates where books is multiple of shelves.

On Thursday 1st January 2015, Anna buys one book and one shelf. For the next two years, she buys one book every day and one shelf on alternate Thursdays, so the next shelf is bought on 15th January 2015. On how many dates in the period Thursday 1st January 2015 until Saturday 31st December 2016 inclusive does Anna have a number of books which is an exact multiple of the number of shelves she has?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Anna acquista libri e scaffali; conta le date in cui i libri sono più scaffali.

Giovedì 1 gennaio 2015, Anna compra un libro e uno scaffale. Per i prossimi due anni, compra un libro ogni giorno e uno scaffale ogni giovedì, quindi il prossimo scaffale viene acquistato il 15 gennaio 2015. Su quante date nel periodo Giovedì 1 gennaio 2015 fino al sabato 31 dicembre 2016 inclusi Anna ha un numero di libri che è un esatto moltiplo del numero di scaffali che ha?

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Cyclic quadrilateral; tangent at D meets line CB; prove triangle DEF isosceles.

Let $ABCD$ be a cyclic quadrilateral and let the lines $CD$ and $BA$ meet at $E$. The line through $D$ which is tangent to the circumcircle of $ABCD$ at $D$ meets the line $CB$ at $F$. Prove that triangle $DEF$ is isosceles.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quadrilaterale ciclico; tangente a D che incontra la linea CB; prova triangolo DEF isosceles.

Che $ABCD$ sia un quadrilaterale ciclico e che le linee $CD$ e $BA$ si incontrino a $E$. La linea attraverso $D$ che è tangente al circoncircolo di $ABCD$ a $D$ incontra la linea $CB$ a $F$. Prova che il triangolo $DEF$ è uguale.

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Sequence defined by recurrence with constants A and B; find rational initial values.

Suppose that a sequence $a_1,a_2,a_3,\dots$ is defined by a formula $a_n=a_{n-1}+A+B/a_{n-1}$ where $A$ and $B$ are rational constants with $A\ne 0$. Determine all values of $a_1$ which give the smallest possible number of terms in the sequence which are rational numbers.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Sequenza definita da ricorrenza con costanti A e B; trovare valori iniziali razionali.

Supponiamo che una sequenza $a_1,a_2,a_3,\dots$ sia definita con una formula $a_n=a_{n-1}+A+B/a_{n-1}$ in cui $A$ e $B$ sono costanti razionali con $A\ne 0$. Determinare tutti i valori di $a_1$ che forniscono il minor numero possibile di termini nella sequenza che sono numeri razionali.

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James jar of 100 pebbles game; determine positions from which second player wins.

James has a jar of 100 pebbles. A move consists of taking one or more pebbles from the jar or returning one or more pebbles to the jar. The following conditions must be satisfied: (a) The game may never be returned to a previous state. (b) The jar may never be empty. A player who cannot make a move loses. James goes first. Determine all values of the starting number of pebbles from which James can guarantee a win.

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Casework, Induzione Abilita: Modellizzazione, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

James Jar of 100 pebbles gioco; determinare le posizioni da cui il secondo giocatore vince.

James ha una bottiglia di 100 pietre. Una mossa consiste nel togliere uno o più ciottoli dal vaso o nel riportarne uno o più. Le seguenti condizioni devono essere soddisfatte: a) Il gioco non può mai essere restituito a uno stato precedente. (b) Il vaso non può mai essere vuoto. Un giocatore che non può fare una mossa perde. James e’ il primo. Determina tutti i valori del numero iniziale di pietre da cui James può garantire una vittoria.

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Triangle altitude foot; four perpendicular feet are concyclic.

Let $ABC$ be a triangle, and let $D$ be the foot of the altitude from $A$. Let $P$, $Q$, $R$ and $S$ be the feet of the perpendiculars from $D$ to $AB$, $DB$, $DC$ and $CA$ respectively. Show that $P$, $Q$, $R$, $S$ are concyclic.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Piede di altitudine triangolare; quattro piedi perpendicolari sono conciclici.

$ABC$ sia un triangolo e $D$ sia il piede dell’altitudine da $A$. I piedi delle perpendicolari $P$, $Q$, $R$ e $S$ siano rispettivamente i piedi delle perpendicolari $D$ a $AB$, $DB$, $DC$ e $CA$. Indicare che $P$, $Q$, $R$, $S$ sono conciclici.

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Charming integers defined recursively; prove every positive integer is a sum of few charming integers.

A positive integer $n$ is called charming if it is equal to $1$ or it can be written as the sum of two non-negative integers in $k$ different charming ways, where $k$ is a non-negative integer. Prove that every positive integer can be written as a sum of a small number of charming integers.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Induzione, Fattorizzazione Abilita: Modellizzazione, Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Tanti interi incantevoli definiti in modo ricorrente; dimostrare che ogni intero positivo è la somma di pochi interi incantevoli.

Un intero positivo $n$ si chiama incantevole se è uguale a $1$ o può essere scritto come la somma di due interi non negativi in $k$ modi incantevoli diversi, dove $k$ è un intero non negativo. Prova che ogni numero intero positivo può essere scritto come la somma di un piccolo numero di numeri interi affascinanti.

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