British Mathematical Olympiad 2015-16 — Round 2

Three mutually tangent circles with common tangent: prove inequality

Circles of radii $r_1$, $r_2$ and $r_3$ touch each other externally, and they also have a common tangent at points $A$, $B$ and $C$ respectively, where $B$ lies between $A$ and $C$. Prove that $16r_1{r}_3(r_1+r_2+r_3)\ge 9r_2(r_1+r_3{)}^2$.

Topic: Disuguaglianze, Geometria piana Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri PDF

Tre cerchi tangenti reciprocamente con tangente comune: dimostrare la disuguaglianza

I cerchi di raggio $r_1$, $r_2$ e $r_3$ si toccano esternamente e hanno anche una tangente comune rispettivamente nei punti $A$, $B$ e $C$, dove $B$ si trova tra $A$ e $C$. Prove che $16r_1{r}_3(r_1+r_2+r_3)\ge 9r_2(r_1+r_3{)}^2$.

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Hockey teams: find largest chain Benjamin can always guarantee

Alison has a bag of 20 hockey teams, ordered by how good she thinks they are. She will choose three teams to list, and she will then choose either to tell him which she thinks is the strongest team of the three, or which she thinks is the weakest team of the three. Benjamin may do this as many times as he likes. Determine the largest $N$ such that Benjamin can always find a sequence $T_1,T_2,\dots ,T_N$ of teams with the property that he knows that $T_1$ is better than $T_2$, $T_2$ is better than $T_3$, $\dots$, and $T_{N-1}$ is better than $T_N$, for each $1\le i<N$.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Le squadre di hockey: trovare la catena più grande Benjamin può sempre garantire

Alison ha una borsa di 20 squadre di hockey, ordinate per quanto le pare buone. Sceglierà tre squadre da elencare, e poi sceglierà di dirgli quale pensa di essere la squadra più forte delle tre, o quale pensa di essere la squadra più debole delle tre. Benjamin può farlo quante volte vuole. Determinare il più grande $N$ in modo che Benjamin possa sempre trovare una sequenza $T_1,T_2,\dots ,T_N$ di squadre con la proprietà che sa che $T_1$ è migliore di $T_2$, $T_2$ è migliore di $T_3$, $\dots$, e $T_{N-1}$ è migliore di $T_N$, per ogni $1\le i<N$.

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Cyclic quadrilateral: PQ perp AC implies PQ perp BD

Let $ABCD$ be a cyclic quadrilateral. The diagonals $AC$ and $BD$ meet at $Q$. The lines $AB$ and $CD$ produced meet at $P$. Prove that if $PQ$ is perpendicular to $AC$, then $PQ$ is perpendicular to $BD$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quadrilaterale ciclico: PQ perp AC implica PQ perp BD

Che il $ABCD$ sia un quadrilaterale ciclico. Le diagonali $AC$ e $BD$ si incontrano a $Q$. Le linee $AB$ e $CD$ prodotte si incontrano a $P$. Prove che se $PQ$ è perpendicolare a $AC$, allora $PQ$ è perpendicolare a $BD$.

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Prime p with p^2 = a^3 + b^2: prove divisibility or factorisation result

Suppose that $p$ is a prime number and that there are positive integers $a$ and $b$ such that $p^2=a^3+b^2$. Prove that there exist positive integers $u$ and $v$ such that $p=u^2+v^3$ and $a=u^2$, $b=v^3$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Prima p con p^2 = a^3 + b^2: dimostra divisibilità o risultato di fattorizzazione

Supponiamo che $p$ sia un numero primo e che ci siano interi positivi $a$ e $b$ tali che $p^2=a^3+b^2$. Dimostrare che esistono integri positivi $u$ e $v$ come $p=u^2+v^3$ e $a=u^2$, $b=v^3$.

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