British Mathematical Olympiad 2016-17 — Round 1

Count odd digits in integers 1 to 2016

The integers $1,2,3,\dots ,2016$ are written on a board, each appearing exactly once. Each of the digits from $0$ to $9$ appears many times in the list. How many of the digits in the list are odd?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare cifre odd nei numeri interi da 1 a 2016

I numeri interi $1,2,3,\dots ,2016$ sono scritti su una lavagna, ognuna apparendo esattamente una volta. Ciascuna delle cifre da $0$ a $9$ appare molte volte nell’elenco. Quante cifre della lista sono strane?

src_bmo_2016-17_round1__Q01

3-smooth greatest divisor; find all pairs (m,n) with n·f(m)=m·f(n)

For each positive integer $n$, let $f(n)$ be the greatest $a$ such that $a\mid n$ and $a$ has no prime factor greater than $3$. For example, $f(6)=6$, $f(11)=1$, $f(12)=12$, $f(30)=6$.

Determine all pairs $(m,n)$ of positive integers which satisfy the equation $n\cdot f(m)=m\cdot f(n).$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*3-smooth greatest divisor; trovare tutte le coppie (m,n) con n·f(m)=m·f(n) *

Per ogni intero positivo $n$, $f(n)$ deve essere il più grande $a$ in modo tale che $a\mid n$ e $a$ non abbiano un fattore primo maggiore di $3$. Per esempio, $f(6)=6$, $f(11)=1$, $f(12)=12$, $f(30)=6$.

Determinare tutte le coppie $(m,n)$ di integri positivi che soddisfano l’equazione $n\cdot f(m)=m\cdot f(n).$

src_bmo_2016-17_round1__Q02

Pairs of positive integers where both m²-n and n²-m are perfect squares

Determine all pairs $(m,n)$ of positive integers such that $m^2-n$ and $n^2-m$ are both perfect squares.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

I coppie di integri positivi in cui m2-n e n2-m sono quadrati perfetti

Determinare tutte le coppie $(m,n)$ di integri positivi in modo tale che $m^2-n$ e $n^2-m$ siano entrambi quadrati perfetti.

src_bmo_2016-17_round1__Q03

Triangle with 60° angle; prove angle BDM equals 90°

Let $ABC$ be a triangle with $\angle BAC=60^{\circ }$. The tangent to the circumcircle of $ABC$ at $A$ meets line $BC$ (extended if necessary) at the point $T$. Let $D$ be the point on $BC$ such that $AD$ bisects $\angle BAC$, and let $M$ be the midpoint of $AD$.

Prove that $\angle BDM=90^{\circ }$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo con angolo 60°; prova angolo BDM = 90°

Che $ABC$ sia un triangolo con $\angle BAC=60^{\circ }$. La tangente al circoncircolo di $ABC$ a $A$ incontra la linea $BC$ (estesa se necessario) al punto $T$. Che $D$ sia il punto di $BC$ in modo tale che $AD$ dividi $\angle BAC$, e che $M$ sia il punto medio di $AD$.

Prove che $\angle BDM=90^{\circ }$.

src_bmo_2016-17_round1__Q04

Naomi and Tom pick integers; determine if Naomi always wins

Naomi and Tom play a game. They take turns to pick an integer between $1$ and $100$ inclusive, with Naomi going first. The game ends when one of the players picks an integer that has already been chosen by either player. The player who picks the repeated integer loses the game.

Naomi claims she can always win the game whatever strategy Tom uses. Is she right? Justify your answer.

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Invarianti, Casework, Backward Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Naomi e Tom scelgono i numeri interi; determinano se Naomi vince sempre

Naomi e Tom giocano a un gioco. Si alternano per scegliere un numero intero tra $1$ e $100$ inclusivo, con Naomi prima. Il gioco termina quando uno dei giocatori sceglie un numero intero già scelto da uno dei due giocatori. Il giocatore che sceglie il numero intero ripetuto perde la partita.

Naomi sostiene di poter sempre vincere la partita qualunque sia la strategia che utilizza Tom. - Ha ragione? Giustifica la tua risposta.

src_bmo_2016-17_round1__Q05

Consecutive integers on (n+1)-gon; find minimum sum of all pairwise differences

Consecutive positive integers $m,m+1,m+2,\dots ,m+n$ are assigned to the vertices of a regular $(n+1)$-gon, one integer per vertex. For each side and diagonal of the polygon, we compute the absolute difference of the integers at the two endpoints. Let $S$ be the sum of all these absolute differences. Determine the smallest possible value of $S$ in terms of $n$.

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Estremalità, Simmetria, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Interi consecutivi su (n+1)-gon; trovare la somma minima di tutte le differenze in coppia

I numeri interi positivi consecutivi $m,m+1,m+2,\dots ,m+n$ sono assegnati ai vertici di ungon regolare $(n+1)$, un intero per vertice. Per ogni lato e diagonale del poligono, calcoliamo la differenza assoluta dei numeri interi ai due punti finali. Che $S$ sia la somma di tutte queste differenze assolute. Determinare il minimo valore possibile di $S$ in termini di $n$.

src_bmo_2016-17_round1__Q06