British Mathematical Olympiad 2016-17 — Round 2

Count n≤2017 for which a right-angled isosceles triangle has exactly n lattice points on its perimeter

This problem concerns triangles with vertices at integer co-ordinates in the usual $x,y$-coordinate plane. For how many positive integers $n\le 2017$ is it possible to draw a right-angled isosceles triangle such that exactly $n$ points on its perimeter, including all three of its vertices, have integer co-ordinates?

Topic: Teoria dei Numeri, Geometria analitica, Geometria piana Metodo: Casework, Congruenze, Conteggio Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Fonte: apri PDF

Conteggio n≤2017 per il quale un triangolo a angolo retto di uguali dimensioni ha esattamente n punti di reticola sul suo perimetro

Questo problema riguarda i triangoli con vertici a coordinate interi nel solito piano di coordinate $x,y$. Per quanti integri positivi $n\le 2017$ è possibile disegnare un triangolo a rettangolo di isosceles in modo tale che esattamente $n$ i punti sul suo perimetro, compresi tutti e tre i suoi vertici, abbiano coordinate interi?

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Prove the sequence a_n = sum_{i=1}^{n} floor(n/i) satisfies a_{n+1}>a_n and a_{n+1}=a_n both infinitely often

Let $\lfloor x\rfloor$ denote the greatest integer less than or equal to the real number $x$. Consider the sequence $a_1,a_2,\dots$ defined by $a_n={\sum }_{i=1}^n\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$ for integers $n\ge 1$. Prove that $a_{n+1}>a_n$ for infinitely many $n$, and $a_{n+1}=a_n$ for infinitely many $n$.

[Here are some examples of the use of $\lfloor \cdot \rfloor$: $\lfloor 2\rfloor =2$, $\lfloor 1.7\rfloor =1$, $\lfloor -1.7\rfloor =-2$.]

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Induzione, Casework, Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove la sequenza a_n = somma_{i=1}^{n} piano(n/i) soddisfa a_{n+1}>a_n e a_{n+1}=a_n entrambi infinitamente spesso

$\lfloor x\rfloor$ indichi il numero intero più grande inferiore o uguale al numero reale $x$. Considerare la sequenza $a_1,a_2,\dots$ definita da $a_n={\sum }_{i=1}^n\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$ per gli integri $n\ge 1$. Prove che $a_{n+1}>a_n$ per infinite $n$, e $a_{n+1}=a_n$ per infinite $n$.

[Questi sono alcuni esempi di utilizzo di $\lfloor \cdot \rfloor$: $\lfloor 2\rfloor =2$, $\lfloor 1.7\rfloor =1$, $\lfloor -1.7\rfloor =-2$.]

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Cyclic quadrilateral ABCD: angle bisector of angle ADB meets AC at N; prove CD parallel to AB iff AN=NC

Consider a cyclic quadrilateral $ABCD$. The diagonals $AC$ and $BD$ meet at $T$. The internal angle bisector of $\angle ADB$ meets $AC$ at $N$. Prove that $CD$ is parallel to $AB$ if and only if $AN=NC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

ABCD quadrilaterale ciclico: il bisettore angolare dell’angolo ADB incontra l’AC a N; dimostra CD parallelo ad AB se AN=NC

Considerate un quadrilaterale ciclico $ABCD$. Le diagonali $AC$ e $BD$ si incontrano a $T$. Il bisettore di angolo interno di $\angle ADB$ incontra $AC$ a $N$. Prova che $CD$ è parallelo a $AB$ se e solo se $AN=NC$.

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Bobby’s secret 3-digit code: find minimum guesses Alex needs to guarantee learning the code

Bobby picks a secret 3-digit code. Alex attempts to guess it by saying 3-digit numbers one at a time. After each guess, Bobby responds with how many digits are $\text{Full}$ (correct digit in the correct position) and how many are $\text{Close}$ (correct digit but in the wrong position). Alex knows that both responses are correct. If Alex follows an optimal strategy, what is the smallest number of guesses needed to guarantee that Alex can determine the secret code, whatever it is?

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Casework, Backward Abilita: Casework accurato, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Il codice segreto a 3 cifre di Bobby: trovare le ipotesi minime che Alex deve garantire per imparare il codice

Bobby sceglie un codice segreto a tre cifre. Alex cerca di indovinare dicendo numeri a tre cifre uno alla volta. Dopo ogni ipotesi, Bobby risponde con quante cifre sono $\text{Full}$ (cifre corrette nella posizione corretta) e quante sono $\text{Close}$ (cifre corrette ma nella posizione sbagliata). Alex sa che entrambe le risposte sono corrette. Se Alex segue una strategia ottimale, qual e’ il minimo numero di ipotesi necessarie per garantire che Alex possa determinare il codice segreto, qualunque sia?

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