British Mathematical Olympiad 2017-18 — Round 1

Compare sums of remainders of 365 by 1..365 and 366 by 1..366

Helen divides $365$ by each of $1,2,3,\dots ,365$ in turn, writing down a list of the $365$ remainders. Then Phil divides $366$ by each of $1,2,3,\dots ,366$ in turn, writing down a list of the $366$ remainders. Whose list of remainders has the greater sum and by how much?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Conteggio Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Compare le somme dei rimanenti di 365 per 1,365 e 366 per 1,366

Helen divide $365$ per ciascuno di $1,2,3,\dots ,365$ a sua volta, scrivendo un elenco dei rimanenti $365$. Quindi Phil divide $366$ per ciascuno di $1,2,3,\dots ,366$ a sua volta, scrivendo un elenco dei rimanenti $366$. Di chi è la lista dei rimanenti che ha la somma maggiore e per quanto?

src_bmo_2017-18_round1__Q01

Max and min number of days at least five of six friends swim

In a $100$-day period, each of six friends goes swimming on exactly $75$ days. There are $n$ days on which at least five of the friends swim. What are the largest and smallest possible values of $n$?

Topic: Combinatoria Metodo: Doppio conteggio, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Maximo e minimo numero di giorni in cui almeno cinque dei sei amici nuotano

In un periodo di $100$ giorni, ciascuno dei sei amici va a nuotare esattamente $75$ giorni. Ci sono $n$ giorni in cui almeno cinque degli amici nuotano. Quali sono i valori più grandi e più piccoli possibili di $n$?

src_bmo_2017-18_round1__Q02

Line MN bisects both area and perimeter of isosceles triangle ABC

The triangle $ABC$ has $AB=CA$ and $BC$ is its longest side. The point $N$ is on the side $BC$ and $BN=AB$. The line perpendicular to $AB$ which passes through $N$ meets $AB$ at $M$. Prove that the line $MN$ divides both the area and the perimeter of triangle $ABC$ into equal parts.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

*La linea MN divide sia l’area che il perimetro del triangolo ABC *

Il triangolo $ABC$ ha $AB=CA$ e $BC$ è il suo lato più lungo. Il punto $N$ è sul lato $BC$ e $BN=AB$. La linea perpendicolare a $AB$ che passa attraverso $N$ incontra $AB$ a $M$. Prova che la linea $MN$ divide sia l’area che il perimetro del triangolo $ABC$ in parti uguali.

src_bmo_2017-18_round1__Q03

Count possible values of a_2017 for sequence with given recurrence

Consider sequences $a_1,a_2,a_3,\dots$ of positive real numbers with $a_1=1$ and such that $a_{n+1}+a_n=(a_{n+1}-a_n{)}^2$ for each positive integer $n$. How many possible values can $a_{2017}$ take?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Contare i valori possibili di a_2017 per la sequenza con una data ricorrenza

Considera le sequenze $a_1,a_2,a_3,\dots$ di numeri reali positivi con $a_1=1$ e tali che $a_{n+1}+a_n=(a_{n+1}-a_n{)}^2$ per ogni intero positivo $n$. Quanti valori possibili può contenere $a_{2017}$?

src_bmo_2017-18_round1__Q04

Smallest k of coloured squares so no uncoloured 100-comb fits in 200x200 grid

If we take a $2\times 100$ (or $100\times 2$) grid of unit squares, and remove alternate squares from a long side, the remaining $150$ squares form a $100$-comb. Henry takes a $200\times 200$ grid of unit squares, and chooses $k$ of these squares and colours them so that James is unable to choose $150$ uncoloured squares which form a $100$-comb. What is the smallest possible value of $k$?

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Colorazione, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

*Quattro quadrati colorati più piccoli, in modo che non si inseriscano in una griglia di 200x200 100 colori *

Se prendiamo una griglia $2\times 100$ (o $100\times 2$) di quadrati unitari, e rimuoviamo i quadrati alternativi da un lato lungo, i quadrati rimanenti $150$ formano un $100$-combo. Henry prende una griglia $200\times 200$ di quadrati unità, e sceglie $k$ di questi quadrati e li colora in modo che James non sia in grado di scegliere $150$ quadrati incolori che formano un $100$-combo. Qual è il minimo valore possibile di $k$?

src_bmo_2017-18_round1__Q05

Min cards placed when row means must stay integers; give example

Matthew has a deck of $300$ cards numbered $1$ to $300$. He takes cards out of the deck one at a time, and places the selected cards in a row, with each new card added at the right end of the row. Matthew must arrange that, at all times, the mean of the numbers on the cards in the row is an integer. If, at some point, there is no card remaining in the deck which allows Matthew to continue, then he stops. When Matthew has stopped, what is the smallest possible number of cards that he could have placed in the row? Give an example of such a row.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Estremalità, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Le schede min posizionate quando i mezzi di fila devono rimanere numeri interi; dare l’esempio

Matthew ha un mazzo di carte $300$ numerate $1$ a $300$. Prende le carte dal mazzo una alla volta e posiziona le carte selezionate in una fila, con ogni nuova carta aggiunta all’estremità destra della fila. Matthew deve provvedere che, in ogni momento, la media dei numeri sulle carte della fila sia un numero intero. Se, a un certo punto, non rimane nessuna carta nel mazzo che permetta a Matthew di continuare, allora si ferma. Quando Matthew si è fermato, qual è il numero minimo possibile di carte che avrebbe potuto mettere in fila? Cita un esempio di una tale battaglia.

src_bmo_2017-18_round1__Q06